22 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



PARTE PRIMA 



GEOMETRIA DI UNA QUADRIGA 



§ I- 

 Polarità. - QuadricTie generali e specialissate. 



9. Un'equazione quadratica tra le n coordinate omogenee x, , . .. x^ di punti 

 (f {x) = 2,-;t ««. x^Xi^ — d (i,Jc— 1,2, ...n), («,,(. = a^,) 



rappresenta un -S'\_^ o quadrica nello spazio ad n — 1 dimensioni di punti S. 



n (n + 1 ) 

 Come i coefficienti di quell'equazione sono , così le quadriche dello spazio 



V ;, 1 ^- • '• • n(n+l) (n—l){n + 2) . 



lineare ad n — 1 dimensioni sono m numero — 1 = ^ volte m- 



2 2 



[n—1^ (w+ 2) 

 finito, sicché per ■ ^- punti arbitrari di quello spazio passa in generale una 



quadrica determinata (*). • 



10. Due punti qualunque x, x diconsi coniugati rispetto alla quadrica y se 

 sono armonici coniugati rispetto ai due punti in cui 1' S\ che li congiunge taglia y. 

 La condizione, perchè ciò accada, è che l'equazione 



9 (^• + )w'r') = , 



che determina quei due punti, abbiale due radici uguali e di segno contrario (V. n" 8), 

 vale a dire è: 



(*) In generale soltanto. Per = — — h punti arbitrari dello spazio passano co* quadriche 



formanti un sistema lineare h volte infinito di quadriche aventi comune un 5''„_j_j, , che è perfetta- 



mente determinato da h-\-\ di quelle quadriche. Quindi gli '-^ — punti, che individuano in 



generale una quadrica passante per essi, non devono stare su uno di questi spazi S'„_jt_j altrimenti 

 la quadrica che li contiene diventa tante volte indeterminata quante sono le unità contenute in h. 

 Queste sono generalizzazioni di teoremi ben noti sulle quadriche, anzi sulle supei-fioie algebriche, dello 

 spazio ordinario e si dimostrano come queste. 



