DI CORRADO SEGKE 2S 



Se poniamo 



quell'equazione si potrà scrivere : 



Quindi dato un punto qualunque x dello spazio, i suoi punti coniugati x rispetto 

 alla quadi-ica 9 costituiscono un piano, le cui coordinate §,■ sono date da: 



(1) fÌ=^?,(^) (»•=!,...«) , 



e che si dirà piano polare del punto x rispetto a y. Ogni punto x di questo piano 

 avendo x per un punto coniugato, U suo piano polare passerà per x. 



Dalle definizioni date segue pure immediatamente che qualunque spazio lineare S'„ 

 passante per un punto x taglia la quadrica 9 ed il piano polare di x rispetto a 9 

 secondo una quadiica S'-„_, ed un S'„_, tali che nel S'^x ha quel >S'„,_, per po- 

 lare rispetto al <S'^„,_, . 



1 1 . Poniamo che il punto x descriva uno spazio lineare qualunque S '„ . Po- 

 tremo rappresentare le coordinate Xi come funzioni lineari omogenee di m+1 nuove 

 variabili, e sostituendole nelle equazioni (1) si vede che anche le coordinate ^^ del 

 piano polare | saranno rappresentate da funzioni lineari omogenee di quelle m + 1 

 variabili. Dunque i piani polari dei punti di vm S'^ formano un 2'^. Essi hanno 



> quindi comune un S',^^_^ di punti (V. n° 3), ed è chiaro che questi sono i punti 

 coniugati simultaneamente a tutti i punti di quel S'^. Viceversa, i piani polari di 

 quel S '„_;,_„ di punti formeranno un 1 ',^^_,n composto di tutti i piani passanti per 

 quel S'^ , sì che i punti del S'„_^_^ avranno per punti coniugati comuni i punti 

 del S'„. Due tali spazi lineari (duali) di punti S'^, S\_^_^ si diranno polari Vuno 

 dell'altro rispetto alla quadrica 9. 



12. Dalla definizione data del piano polare di un punto x e dalle proprietà 

 note dei gruppi armonici risulta, che se x giace sulla quadrica 9, il suo piano po- 

 lare I dato daUe formide (1) passerà pure per x e sarà il piano tangente in ^z; a 9 , 

 cioè sarà rm piano i cui S\ passanti per x sono quegli S \ che hanno comuni con 9 

 due punti coincidenti in x, cioè che toccano 9 in questo punto. Viceversa dalle (1) 

 risultando : 



segue che quando un punto ed il suo piano polare sono in posizione unita, il punto 

 giacerà sulla quadiica s ed il piano sarà quello tangente nel punto a 9. 



Ciò posto , se consideriamo un punto qualunque x dello spazio , il suo piano 

 polare taglierà la quadrica data cu ad n — 2 dimensioni in una quadrica ad n — 3 

 dimensioni S^,^^ : i piani tangenti a 9 nei punti x di questa passeranno per x, e 

 viceversa tutti i piani passanti per x e tangenti a 9 la toccheranno in punti di 

 quel '5^,_3. E più in generale, considerando due spazi lineari di punti S'^, /S''„_i_„, 

 polari l'uno dell'altro rispetto a 9 ; lisulta, dalle cose dette, che i piani tangenti a 9 



