DI COKBAPO SEGRE 



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laonde quest'equazione quadratica è quella a cui soddisfano tutti i piani tangenti 

 a o. Quindi ritroviamo che questi piani costituiscono uno spazio di piani ad n — 2 

 dimensioni di 2' classe 2 ■„_j . 



14. Però, come notammo, queste cose valgono solo nel caso più generale. Invero 

 il sistema (1) di n equazioni lineari omogenee nelle n+1 quantità a;, e p, cioè: 



(1) P ?. = «,■. a;, + ... + «,„ a;,, , 



può dar luogo a casi speciali, i quali si otterranno tutti dalla considerazione dei de- 

 terminanti d'ordine « formati dalla matrice dei coefficienti : 



(3) 



?nni 



L'annullarsi di uno qualunque di questi determinanti non dà nulla di notevole, salvo 



quando quello sia precisamente 



, cioè il discriminante A ài f. 



Quando questo si annulla, la risoluzione delle (1) dà (= = 0, cioè quelle equazioni 

 verranno a mancare del 1° membro, vale a dire ad essere un sistema di n equa- 

 zioni omogenee nelle n incognite Xi , sistema però avente il determinante nullo, e che 

 quindi determinerà un sistema, unico in generale (od infiniti sistemi, in casi pivi spe- 

 ciali) di valori pei rapporti mutui delle a;, ; ma questo sistema sarà indipendente 

 dalle §i , poiché queste non compariranno più in quelle equazioni. Dunque quando 

 A^O ad un piano qualunque dello spazio corrisponde in generale come polo ri- 

 spetto a 9 un punto fisso y determinato dalle n equazioni lineari omogenee: 



(i) 



fl,-.y, + - • • +«,>,2/« = ' 



(ovvero tutti i punti determinati da queste equazioni se esse formano un sistema in- 

 determinato) sicché questo punto sarà il solo punto dello spazio pel quale il piano 

 polare rispetto a o non sia individuato, anzi sia ogni piano dello spazio; come del 

 resto esprimono appunto le (4) dicendo che le coordinate del piano polare di y hanno 

 tutte valori nulli. 



15. Come già notammo, il sistema delle n equazioni omogenee (4) può anche 

 essere indeterminato e quindi avere infinite soluzioni. Però ogni punto y soddisfacente 

 ad esso godrà sempre delle proprietà dette, ed inoltre di quella di essere punto 

 doppio della quadrica e, cioè di esser tale che qualunque S', passante per esso 

 taglia o in due punti coincidenti con y. In fatti, dicendo x un punto qualunque dello 

 spazio, saranno y^+lx^ le coordinate di un punto qualunque del S', che congiunge 

 X a,à y, e quel punto starà su e se: 



=s {ij + lx)^l'-(p{x) + 2 X» {x, y) +(D (y) . 

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