26 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



Ma dalle (4) segue, qualunque sia x: 



(D (x , y) = , ed in particolare <p («/) =r ; 



quindi quella condizione diventa semplicemente 



ed è quindi soddisfatta soltanto da X^ = , se il punto x non è stato preso su (p . 

 Ora a ).= corrisponde appunto y neL>S'', rappresentato da y+lx. È dunque pro- 

 vato l'asserto. 



Se il punto X fosse stato preso su y, sicché ffl(a;)=0 , si vede che la condizione 

 perchè il punto y + 'kx stia su (p sarebbe stata soddisfatta per ogni valore di X . 

 Dunque abbiamo la seguente importantissima proprietà delle quadriche aventi il di- 

 scriminante nullo; che congiungendo un punto doppio qualunque della quadrica, ad un 

 suo altro punto qualunque, si ottiene sempre un S\ tutto contenuto nella quadrica. 



16. Ritornando ora alle equazioni lineari, che determinano il punto x avente 

 un dato piano polare ^ rispetto a o, supponiamo che nella matrice (3) sia nullo 

 oltre ad A uno qualunque degli altri determinanti d'ordine m; saranno allora nulli 

 tutti, ed il sistema d'equazioni lineari (1) sarà indeterminato, cioè al piano ^ cor- 

 risponderanno infiniti poli. Però in tal caso questo piano non è più qualunque, nello 

 spaziò in generale: dall 'annullarsi di tutti quei determinanti segue che, se le quan- 

 tità 2/i si determinano in modo da soddisfare le equazioni (4) sarà pure (finché non 

 si annullano i subdeterminanti Ai/, di A) : 



cosicché il piano | passa pel punto doppio y Ai f . 



Viceversa se ^ è un piano qualunque passante per y e quindi soddisfacente a 

 quest'equazione, esso avrà infiniti poli x. A determinare tutti questi poli basterà 

 sopprimere una delle equazioni (1) come superflua, e allora rimarranno n — 1 equa- 

 zioni tra cui eliminando p si hanno »i— 2 equazioni lineari omogenee tra le x^. 

 Dunque quei poli x formano un S' , , H quale naturalmente passerà per y, poiché 

 questo è sempre uno dei poli del piano |. Del resto, che i punti posti su un S\ 

 passanti pel punto doppio y abbiano comune il piano polare rispetto a p si vede 

 subito notando che le coordinate del piano polare del punto y +'kx sono : 



2* «.-A (Vk + ^%) = ^k «,* yk-\-'^^ai,,X/,=l^' , 



dove ^,- sono le coordinate del piano polare di x. Dunque questo è pui-e il piano 

 polare di tutti i punti y + lx. Quindi conchiudiamo che una quadrica avente un 

 punto doppio, e per conseguenza di discriminante nullo, gode della proprietà che 

 ogni piano dello spazio ha per polo il punto doppio, ma che i piani passanti per 

 questo hanno infiniti poli costituenti degli S', passanti pure per quello, e viceversa 

 tutti i punti posti su un S\ passante pel punto doppio hanno rispetto a quella 

 quadi'ica lo stesso piano polare. 



