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• In particolare i pirntì della quadrica <p essendo distribuiti, come redemmo, su 

 degli S\ passanti per y, in tutti i punti di un tale S', la quadrica 9 avrà lo stesso 

 piano tangente passante per quel S\ e quindi anclie per ìj. I piani tangenti a © in 

 punti diversi da >/ sono dunque in numero infinito non più n — 2 volte , ma n — 3 

 volte. Essi formano un 2;\,_3 di piani nel 2'„_^ formato dai piani che passano per y. 

 Ma anche tutti questi piani , cioè i piani passanti pel punto doppio y , si potranno 

 evidentemente considerare come tangenti in questo a (p . L'equazione <1)(|) = nel 

 caso in cui A è nuUo si riduce, per un teorema notissimo, a ^^ = , e rappre- 

 senta quindi tutti i piani passanti pel punto doppio y, sicché l'inviluppo di 2° classe 

 formato in generale dai piani tangenti a 9 si riduce appunto in questo caso al- 

 l'inviluppo di 1" classe, contato 2 volte, dei piani passanti per y. Ciò conferma le 

 cose dette. 



17. Una superficie di 2° ordine può essere più volte specializzata. Noi diremo 

 che una quadrica è /( volte specializzata come luogo (od anche cono quadrica di 

 specie li-esima) quando sono nulli il suo discriminante ed i subdeterminanti di questo 

 degli ordini n — \, n — 2 , ... n — h + 1. Quando la quadrica (p goda di tal pro- 

 prietà (e per questo basta che si annullino i subdeterminanti d'ordine n — h+1, il 

 che si vede facilmente equivalere ad ^ /»(/*+ 1 ) condizioni) allora delle n equazioni 

 lineari omogenee (4), che determinano il punto doppio y da 9, h saranno conseguenza 

 delle rimanenti e quindi vi saranno infiniti punti doppi y giacenti nell'intersezione 

 di n — Ji piani e formanti quindi uno spazio lineare S\_^. Prendendone h qua- 

 lunque, i quali siano y', y", ..., 2/""^ sarà per i=l , 2 , ... n: 



?,(2/') = 0, ?.(/)=0, fi{ì/"") = 0, 



e quindi : 



. |-.^(x+V2/' + r/ + ...+).'*' 2/(*^) = y,(x), - 



il che prova che tutti i punti di un S\ qualunque passante pel S',^_, dei punti doppi 

 hanno lo stesso piano polare rispetto a 9. Questo piano polare poi passa pel S ,,_, , 

 come risulta immediatamente dalla espressione delle sue coordinate ^i , giacché, qua- 

 lunque sia il punto doppio y, sarà : 



^i li Vi = 2i yt fi (x) = 2,. X, (pi{y) = . 



Un piano qualunque | dello spazio vedemmo avere per poli soltanto i punti y 

 che soddisfanno le equazioni (4), cioè tutti i punti doppi di 9 , e viceversa ogni punto 

 doppio ha per piano polare ogni piano dello spazio. Soltanto quei piani § , i quali 

 passano per tutto lo spazio lineare doppio S\_, della quadrica, hanno poli diversi 

 dai punti doppi : questi poli formano un S\ passante per quel S ^_, . 



18. Se y', y" , ... z/'*' indicano ancora h punti doppi^ qualunque della qua- 

 drica o h volte specializzata, si ha: 



f(x+l'y+ry"+...+ }."" yn = ? (^) > 



