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e quindi se il punto x sta sulla quadrica (p vi staranno pure tutti i punti 

 x + l'y+Vy" + ■ ■ ■ +)^^''' 2/^''' . cioè vi starà tutto YS',, di punti che congiunge 

 yS\_, doppio di (p al punto x . Tutti questi punti poi avranno comune , per quanto 

 vedemmo, il piano tangente, cosicché ogni piano che tocchi o in un punto non doppio 

 la tocca in un S\ appartenente a © e passante pel S\_^ doppio. Del resto, quando 

 Zi > 1 ogni piano ^ dello spazio va considerato come piano tangente di o , imperocché 

 allora è soddisfatta identicamente l'equazione $ (^) ^ . Ciò dipende dal fatto che 

 per 7* > 1 ogni piano contiene un S\_^ di punti doppi, quello cioè in cui esso taglia 

 VS\-^ ; e quei punti doppi essendo suoi poli , quel piano sarà tangente in essi a s. 



19. Ogni spazio lineare di punti taglia una data quadrica (d, h volte spe- 

 cializzata secondo una quadrica a minor numero di dimensioni, la quale potrà 

 essei'e o non specializzata, come meglio vedremo in seguito. In particolare un S'„_,_/, 

 qualunque taglia w in una quadrica S''„_^_,^, ma non taglia in generale VS\_, doppio 

 (sicché questa S\,_^_i^ non è in generale specializzata) ; bensì taglia in un punto 

 unico determinato ogni S\ di f passante per questo <S'',,_, . Quindi dalle cose dette 

 segue che il cono di specie li dato 'i si può considerare come costituito dagli in- 

 finiti (oo"~^~*) S\ che congiungono i singoli punti di un S\_^_^ ad un S'i,_, che 

 non tagli VS'„_,_^ in cui questo è contenuto. Si può dire che esso proietta da 

 quel S'i,_, , costituito dai suoi punti doppi, la quadrica S\_^_,^ considerata. Vice- 

 versa ogni S„_^ ottenuto proiettando un S' „_-,_,, di un S'„_,_i^ da un S\_, non 

 avente alcun punto comune con questo è facile vedere essere una quadrica h volte 

 specializzata come luogo avente quel 'S''^_, come doppio. 



Ora in ogni fascio di S'„_^_/, posti in quel S'„_,_,^ ve ne sono in generale due 

 soli tangenti alla quadrica S\_^_i^ considerata. Dunque, proiettando dal S '/,_,, si 

 vede che in ogni fascio di piani passanti per questo S',^_, ve ne sono in generale 

 due soli i quali tocchino z> in punti non posti su quel S\_, (e quindi la tocchino 

 ciascuno in un S'/^). Quindi i piani passanti pel S\_, formano un 2 '„_,_,, nel quale 

 i detti piani tangenti a f costituiscono uno spazio di piani di 2^ classe 2^„_j_,, . 



Esempi di coni quadrici di varie specie furono già da noi incontrati. Se è data 

 una quadrica qualunque (non specializzata) f nello spazio di punti S, e consideriamo 

 due spazi lineari di punti polari rispetto a questa, S\_^ e ^'„_,_/, , noi vedemmo 

 che i piani tangenti ad /'nei punti del S „_,_/, , ad esempio, passano tutti per VS\_, . 

 Orbene questi piani costituiscono un 2^„_j_/, nello spazio lineare 2 '„_,_^ dei piani 

 passanti per l'S',,_,, e sono i piani tangenti di una quadrica di punti ad m — 2 di- 

 mensioni specializzata h volte, cioè del cono quadiico di specie h che proietta da 

 quel S\_, la intersezione S\_^_^ di f col S '„_,_/, . 



20. Ci rimane a vedere in modo più completo come si riduca la polarità ri- 

 spetto ad una quadrica <p quando questa è specializzata un numero qualunque h di 

 Tolte. Già vedemmo che a tutti i punti di un S\ passante pel S\_, doppio di o 

 corrisponde come polare uno stesso piano passante per questo. Di qui segue imme- 

 diatamente la seguente proposizione generale: lo spazio lineare di punti S'„_^_,„ polari 



