in COKKADO SEGKE 29 



di un S',,, qualunque, per »»<»— 1— A è un S '„_,_„, passante pel S',,_, doppio 

 è polai-e non solo di quel S'„,, ma di tutto VS'„,^,, che lo congiunge al ^S*';;,, doppio. 

 Per ìu ^ K — 1 — /; un S'„^ qualunque dello spazio ha solo per spazio polare costante 

 l'S\_, doppio. Tuttavia quando il dato S'^ ha una posizione speciale rispetto al 

 S'h-i doppio, giacendo con questo in uno spazio lineare di punti di dimensioni 

 m'<:vi + h, il suo spazio polare si ridurrà ad un -S''„_,_„.,^,, passante per VS',,_^ 

 doppio. Questo caso si verificherà quando il dato S'^ tagli r^'/,_, doppio in un 

 S'„,^,_„,_, (V. n" 5). 



21. Tra le quadi-iche specializzate, quella semplicemente specializzata corrispon- 

 dente all'annullai'si del discriminante e non dei suoi subdeterminanti, ci si è presen- 

 tata prima: essa ha un solo punto doppio. Quelle 2, 3, ... h volte specializzate 

 hanno risp. un S', , S\, ... S',,_, di punti doppi. Quella specializzata n—é volte ha 

 un S'„_s doppio e si ottiene proiettando da questo un *S"^ qualunque giacente in 

 un S'3 non avente punti comuni con quello. Dalle proprietà note di un *S'\ in un 

 jS"3 , cioè di una quadrica nello spazio ordinario a 3 dimensioni, si potranno dunque 

 avere colla sola proiezione le proprietà dei coni quadrici di specie n — i nello spazio 

 ad n — 1 dimensioni. Cosi la quadiica specializzata n — 3 volte si avrà proiettando 

 dal S'„_^ doppio un /S^, di un /S''^ e se ne avranno immediatamente le proprietà 

 da quelle delle coniche nel piano ordinario. La quadrica specializzata n — 2 volte si 

 avi'à proiettando dal <S''„_3 doppio un <S'\ di un S\ , vale a dire una coppia di 

 punti; e quindi si comporrà di una coppia di piani tagliantisi appunto in quel *S''„_3 

 doppio. Questo scindersi di una quadi-ica n—2 volte specializzata in una coppia di 

 piani si potrebbe anche dimostrare analiticamente colla definizione analitica data delle 

 quadriche specializzate un numero qualunque di volte. Finalmente la quadrica spe- 

 cializzata n — 1 volte avendo un 5 '„_^ doppio si comporrà tutta di questo piano 

 contato due volte. Ciò risulta anche dal fatto che allora si annullano tutti i subde- 

 terminanti di 2° ordine del discriminante della quadrica considerata (p^lai^x^Xf, , 

 donde segue immediatamente , che si può porre in genere : «; /t = e,- c^. , e quindi 

 ^^(ICiXiY , cosicché (D si riduce veramente ad un piano doppio. Non esistono 

 superficie di 2° ordine ulteriormente specializzate. 



22. n principio di dualità stabilito al n° 3 ci permette di enunciare imme- 

 diatamente le seguenti proposizioni sulle quadriche, come superficie-inviluppi di 2" classe, 

 corrispondenti a quelle stabilite sulle quadriche come superficie-luoghi di 2° ordine : 



Per una quadrica-inviluppo non specializzata vale la teoria della polarità sta- 

 bilita per le quadriche-luoghi non specializzate. Ma una quadrica può, come inviluppo, 

 specializzarsi un numero qualunque h di volte (essendo 7j<n) corrispondentemente 

 all'annullarsi di tutti i subdeterminauti d'ordine n — h+1 del discriminante della 

 sua equazione-inviluppo. Una quadrica-inviluppo h volte specializzata $ ha un2^_, 

 di piani doppi, cioè di piani tali che in un fascio 2', qualunque, che ne contenga 

 uno, coincidano in questo i due piani tangenti di $ che appartengono in generale 

 ad un fascio qualunque dello spazio. Questi piani doppi hanno per poli rispetto a 

 tutti i punti dello spazio, e viceversa ogni punto dello spazio ha quei piani per 



