30 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



polari. Quindi, se ìi =1 i poli dei piani stessi di $ , cioè quelli che diremo punti 

 dì contatto dei piani stessi formano una quadrica-luogo o, corrispondente all'inviluppo "l", 

 la quale si riduce ai punti del piano doppio di questo ; e per /» 5> 1 quella quadrica- 

 luogo comprende tutti i punti dello spazio, cioè ogni punto va considerato come gia- 

 cente su o (ed avente per piani tangenti quel l'i,_., del 2',,_, doppio di piani che 

 passa pel punto stesso). Ma ogni piano di <I>, clie non sia doppio, ha un determinato 

 punto di contatto, il quale è tale per tutto il 1'/, di piani che congiunge quello al 

 2'/,_, doppio, e sta quindi sul ^'„_,_/, che costituisce lo spazio di punti comune ai 

 piani doppi. Tutti questi punti del S'„_,_^ , i quali sono punti di contatto di piani 

 qualunque dello spazio con $, formano nel S'„_,_^ una quadrica di punti /5^„_j_j , 

 che diremo micleo di $. I piani di $ costituiscono oo"~^~'' spazi lineari 2',, di piani, 

 ciascuno dei quali ha comune il punto di contatto e taglia VS' „_,_,, in un S' „_i_,, , 

 che è precisamente nel <$' '„_,_,, quel S',^_^_^ che toccala quadrica-nucleo >S^„_j_a, 

 in quel punto. La quadrica $ h volte specializzata come inviluppo si può dunque otte- 

 nere semplicemente fissando nello spazio un S'„_,_,^ e su esso un S'„_^_i^ non spe- 

 cializzato (per le ragioni che vedremo in seguito) ; per ogni S'„_^_i, giacente in quello 

 e tangente a questo passano infiniti piani formanti un 1\: questi oo""^"* 2\ costi- 

 tuiscono appunto la quadrica $ . 



Ogni piano dello spazio , all'infuori dei piani doppi , ha un determinato polo 

 rispetto a $ : questo polo sta sul S'„_,_/^ ed è su questo il polo dell'intersezione 

 S'„_^_i, di quel piano rispetto al nucleo S^„_^_j^ di <1> ; quindi quel polo è lo stesso 

 per tutto il 2'j di piani che congiunge il piano dato al 2^_, di piani doppi, cioè 

 -che passa per uno stesso S'^^^_,, del <S"„_,_,, . Quindi, mentre ad un punto qualunque 

 dello spazio corrispondono come polari rispetto a $ i soli piani doppi di questo, 

 formanti un 2',,_, , ai punti posti sul S '„_,_,, in cui questi si tagliano corrispondono 

 dei 2^ (contenenti quel 2',,_,) di piani polari. 



La quadrica semplicemente specializzata come inviluppo si riduce come luogo ad 

 un piano doppio ed ha per nucleo un S\_^ giacente su questo piano. La quadrica 

 specializzata n — 3 volte come inviluppo ha per nucleo un S"", in un S\; quella 

 n — 2 volte specializzata si riduce ad una coppia di punti (suo nucleo ) come invi- 

 luppi di piani ; e finalmente quella n — 1 volte specializzata si riduce ad un punto 

 contato due volte. 



23. Confrontando coi risultati prima ottenuti per le quadriche considerate come 

 luoghi di punti noi vediamo che: Una quadrica semplicemente specializzata come 

 luogo (come inviluppo) è specializzata n — 1 volte come inviluppo (luogo) riducendosi 

 come tale al suo punto (piano) doppio. Una quadrica, luogo od inviluppo, specia- 

 lizzata un numero di volte > 1 non dà origine risp. ad un inviluppo o ad un luogo 

 determinato. 



Può nascer l'idea che, oltre alle specie così considerate di quadi'iche specializzate, 

 se ne possano ancora distinguer altre , facendo per esempio , che il nucleo di una 

 quadrica specializzata come inviluppo venga a specializzarsi a sua volta come luogo. 

 Ma ciò non può accadere, come ora abbiamo visto, senza che il nucleo stesso si specia- 

 lizzi pure come inviluppo, e quindi la quadrica stessa (che dal nucleo è perfettamente 



