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determinata) si specializzi ulteriormente come inviluppo. Del resto , per esser certi 



di non avere altri casi speciali di quadriche da considerare, all' infuori di quelli già 

 visti, noi affronteremo ora direttamente la questione. 



§ 2. 



G-ruppi di punti coniugati rispetto ad una guadrica. 

 Invarianti di questa. 



fk^. Un gruppo di m punti a due a due coniugati rispetto ad una data qua- 

 drica y , che considereremo soltanto come luogo di punti, si dirà formare una m upla 

 polai'e rispetto a <s . Esistono sempre infinite n uple polari rispetto ad una quadrica (f 

 di uno spazio lineare ad « — 1 dimensioni. In fatti prendasi un punto arbitrario x 

 dello spazio (il che si può fare in oo"~' modi) e nel suo piano polare rispetto 

 a o si prenda un punto arbitrario x" (d che si può fare in oo""^ modi) e nella in- 

 tersezione dei piani polari di x , x" , si prenda un nuovo punto arbitrario x" (oo"""'' 

 modi), e così via, finché su un S\ si prenderà ad arbitrio (oo' modi) un punto a;'"~" il 

 cui piano polare taglierà quel S\ in un punto x^"'' determinato. Dalla costruzione 

 fatta risulta chiaramente che gli n punti così ottenuti x , x" , . . . , x^"^ formano una 

 « upla polai'e rispetto a o, e che viceversa tutte le n uple polari si otteiTanno in 

 questo modo. Il numero di queste «uple polari è dunque infinito un numero di 



M l'ir __ 1 \ 



voltei=(«-l) + (»-2) + (n-3)+ +1= ^ ^ ^ . 



25. In questo ragionamento si è implicitamente supposto che la superficie di 

 2° ordine g; non fosse specializzata. Supponiamola ora specializzata h volte, sicché 

 essa abbia un S\_, di punti doppi. Si possono ancora come dianzi prendere il gruppo 

 degli n — h punti x , x" , .. . x'-"~'''> nel modo detto, e di tali gruppi ve n'é un nu- 



mero (n — 1)+ {n — 2)+ ... +h= -^ volte infinito. Ricordando 



che il piano polare di un punto qualunque dello spazio passa pel S\_^ doppio , i 

 piani polari di quegli n — h punti si taglieranno precisamente in questo e non avranno 

 altri punti comuni. D'altra parte i punti doppi sono coniugati rispetto a (p a tutti 

 i punti dello spazio. Quindi prendendone h ad arbitrio sul S'/,_, , cioè a;^""*"*"^ , • . • , 

 x^"\ ed aggiungendoli ai primi n — h si avrà appunto una n upla polare. Gli ultimi 

 Ji punti si possono prendere in oo'''-''~'^ modi. Vi è dunque un numero 



(„_7i)(n + A_l) ^^_ n{n-l) , h{h-l) 

 2 +h(n-i)- 2 + 2 



volte infinito di n uple polari rispetto ad una quadrica /* volte specializzata, tenendo 

 solo conto di quelle n uple polari che contengono il minor numero possibile di punti 

 doppi della quadrica, cioè h. 



