32 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



Se dal S'i,_, doppio si proiettala (n — h) upla polare x' x' ... a;'""*' che non 



comprende alcun punto doppio, si avranno n — h spazi lineari S\ a due a due 



coniugati rispetto alla quadi'ica , sì che prendendo ad arbitrio un punto (non doppio) 

 su ciascuno di essi si avi'à di nuovo una (n — h) upla polare. 



26. Dalle cose dette segue, che per qualunque superficie di 2° ordine si può 

 costrun-e una n upla polare tale, che i suoi n punti si possano prendere come punti 

 fondamentali (cioè di coordinate tutte nulle , meno una) nel sistema di riferimento 

 delle coordinate. Allora nell'equazione 



(p^la^x^x^^O , ■ ■ 



di quella superficie essendo p. e. coniugati i due punti di coordinate tutte nulle, salvo 

 risp. la Xi e la X/, , sarà a,;t = ; e questo per tutte le combinazioni possibili ih. 

 Dunque l'equazione della quadrica riferita a quella sua n upla polare avrà la forma: 



a, x\ + a^x\+ . . . + a„x\=0 . 



I subdeterminanti d'ordine n — 7i -f- 1 del discriminante di questa forma quadratica 

 saranno tutti, o nulli, ovvero uguali a prodotti delle quantità «; prese a combinazioni 

 di n — 7j + 1 . Afiinchè tutti questi subdeterminanti siano nulli, dovranno dunque 

 annullarsi h di quelle quantità a^ , e ciò sarà pure sufficiente. Dunque la condizione 

 necessaria e sufficiente perchè la quadrica rappresentata da quell'equazione sia h volte 

 specializzata è che in quella siano nulli li sufficienti. 



27. Siano ora date in due spazii qualunque, l'uno di punti x, l'altro di punti y , 

 entrambi lineari ad n — 1 dimensioni, due quadriche qualunque, e riferiamo ciascuna 

 di esse ad una sua n upla polare , sì che siano rappresentate risp. dalle, equazioni : 



a,x\ + a:,x\+ . . . +a„x\ = , 

 e : 



Se stabiliamo tra i punti dei due spazii le relazioni lineari 



y'a. X, = \/b,y, , Ya, x, = yKif, , ... \/a„ x„ = ]/'f„ ìj„ , 



dove pei radicali si prendono valori determinati, avi-emo determinata una prole ttività 

 (V. n" 1) tra i due spazi, nella quale le due quadriche si corrisponderanno tra loro; 

 pui-chè però ninno dei coefficienti «, o &,. sia nullo. Se ve ne fossero anche di quelli 

 nulli, allora quelle relazioni si accorderebbero con una proiettività solo quando vi fosse 

 un ugual numero h di a, nulle e di &, nulle e si attribuissero ad esse gli stessi indici, 

 p. e. , 1 , 2, . .. h . In questo caso poi le relazioni scritte si ridun-ebbero a sole n — h , 

 e aggiungendo ad esse altre /; relazioni arbitrarie tra le a;, , ... , ^r^ e le ?/, , ... , y^,, 

 p. e. : 



a:. = 2/, , ... , x^—y^, .. . , x,, = y^ , 



