DI COKKAPO SEGRE 3S 



sarebbe ancora determinata una proiettività tra i due spazi, la quale farebbe corrispon- 

 dere ancora le due quadi-iche considerate, cbe ora siu-ebbero entrambe h volte specia- 

 lizzate. Dunque : 



Due superficie di 2" ordine in spazi lineari ad ;? — 1 dimensioni si possono sempre 

 ti-asformare proiettivamente l'una nell'altra, colla sola condizione, che ove una di esse 

 sia specializzata, siano entrambe specializzate un ugual numero di volte. Si può stabilire 

 in infiniti modi la proiettività tra i due spazi, cbe fa corrispondere tra loro le due 

 superficie; si può trasformare nello stesso tempo una data n upla polare dell'una in 

 una n upla polare qualunque dell'altra. Fissando queste due n uple polari, la trasforma- 

 zione proiettiva considerata è determinata (benché non individuata). Dunque (V. n° 25), 

 le due supei-fìcie di secondo ordine si possono far corrispondere proiettivamente in un 



«{«—1) hih-l) , . , . 

 numero — - -\ — volte mfimto di modi. 



In particolare una quadi-ica h volte specializzata di un dato spazio lineare di 



punti ad « — 1 dimensioni si può trasformare proiettivamente in se stessa in un numero 



,. ,. n{n-\) h{li-l) , . ^ . 



di modi 1 volte mfimto ; e, se la quadrica non è specializzata, in 



ni" — ■ ) 



oo i modi. 



28. Segue da quelle proposizioni che due quadriche qualunque ' S'^„_^ generali 

 si equivalgono dal punto di vista della geometria proiettiva (V. n° 1). Dunque: 



« Una quadi'ica non ha invarianti assoluti », 

 poiché questi stabiliscono una differenza proiettiva tra gli enti geometrici cui appar- 

 tengono. 



Ma il discriminante di una quadrica è invariante (relativo) di questa : ciò risulta 

 dal significato geometrico che abbiamo visto avere il suo annullarsi, e del resto costi- 

 tuisce una proprietà algebrica notissima del discriminante di una forma quadratica ad 

 un numero qualunque di variabili. D'altronde non essendovi invarianti assoluti non 

 può esservi più di un invariante relativo. Quindi : 



« Una quadi'ica ha solo un invariante, che è il suo discriminante ». 



L'annullarsi di quest'invariante esprime soltanto che la quadrica è semplicemente 

 specializzata, cioè ha un punto doppio. Vedremo presto come anche l'essere una qua- 

 drica h volte specializzata si possa esprimere con forme in varianti ve , e precisamente 

 coll'annullarsi identico di certi contravarianti. Notiamo, per ora, che dal teorema 

 dimostrato che due quadriche h volte specializzate come luogo si possono sempre 

 trasformare proiettivamente l'una nell'altra, segue ciò che notammo nel § precedente 

 (V. n° 23), cioè cbe una tal quadrica non può avere una specializzazione nel 2\_^_4 

 dei piani tangenti propriamente detti (cioè tangenti in punti non doppi) senza dege- 

 nerare in una quadrica specializzata un numero di volte maggiore di /*. 



« Le quadriche luoghi od inviluppi, considerate nel § 1, costituiscono tutte le 

 superficie di 2° ordine o di 2" classe che occorra considerare dal punto di vista 

 proiettivo ». 



Era questo il teorema che c'importava stabilire nel presente §. 



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