54 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



Spazi lineari contenuti in una quadrica o tangenti ad essa. 

 Varie equazioni tangenziali della quadrica. 



29. Proponiamoci ora di cercare quanti e quali spazi lineari di punti siano 

 contenuti in una supei'ficie di 2° ordine S^„_^ dello spazio di punti ad n — 1 dimen- 

 sioni S . Supporremo anzitutto che quella superficie di 2° ordine non sia specializzata, 

 e diciamola ©. Dalla definizione e dalle proprietà viste del piano tangente a as in un 

 suo punto qualunque segue che qualunque spazio lineare S' ^ contenuto in © dovrà 

 pure appartenere al piano tangente a © in un punto qualunque dello spazio lineare 

 stesso. In fatti è chiaro che nel piano tangente a a in un suo punto x prendendo 

 un altro punto y dell'intersezione di » con esso, V S\ che congiunge y ad x starà 

 tutto su y , cosicché quell'intersezione si compone di infiniti S\ passanti per x; vice- 

 versa poi è pure evidente che ogni S\ passante per x e giacente su ^d starà pure 

 sul piano tangente in a; a w . Quindi, siccome tutti i punti di un S' ^ passante per x 

 e contenuto in o si possono congiungere ad x con S\ contenuti in ©, tutto V S' ^ 

 starà sul piano tangente in a; a © , come si voleva provare. Ora la stessa cosa vale 

 per tutti i punti x del S' „^, cioè tutti i piani tangenti a y in quei panti conterranno 

 VS\. D'altronde questi piani tangenti a (f formano un 2'„ di piani, avente per 

 intersezione comune a tutti questi un S'„_^_^, che non è altro che lo spazio di 

 punti polare rispetto a <p dello spazio S' ^ . Quel 'S"„_j_„, dovrà dunque contenere 

 questo 'S''„, , cioè: 



Affinchè uno spazio lineare di punti S' „ sia contenuto in una quadrica f 



generale dello spazio ad n — 1 dimensioni è necessario e sufficiente che esso sia 



contenutQ nel suo spazio lineare {S'„_.,_„) polare rispetto a w . 



H, — 2 

 Ora perchè ciò sia possibile dev'essere m'^n — 2 — m , cioè tu ^ — - — . Dunque : 



Una quadrica generale noti contiene spazi lineari di punti per cui il numero 

 di dimensioni superi la metà del numero di dimensioni della quadrica. 



H — 2 



30. Per in ^ — —— è facile vedere che realmente la quadrica 'p contiene infiniti 



S'^ . Si prenda infatti im punto arbitrario x di f e nel suo piano tangente un altro 

 punto arbitrario x' dell'intersezione con f. VS,' congiungente x' ad x apparterrà a o . Il 

 piano tangente a f in x' passerà per x e quindi taglierà quello tangente in x secondo 

 un /S"„_3 contenente quel S,' : ivi si prenda fuori di questo un nuovo pu&to x" di © e lo 

 si congiunga al S,' stesso. Si avrà un Sj tutto contenuto in a e passante inoltre pei 

 punti X, x' , x". Il piano tangente a ip in x" taglierà VS'„_^ in un S'„_f^ (intersezione 

 dei piani tangenti in x, x', x") che conterrà quel S^. Sull'intersezione di quel S' „_,^ 

 con y, fuori di quel Sj si prenda un nuovo punto arbitrario x" e lo si congiunga al 

 S\ con un S^ : questo sarà tutto contenuto in is e passerà pei punti a;, x , x" , x . 



