DI COKKADO SEGKE 35 



Contiuuando si ottengono spazi lineari contenuti in aj e di numei'O crescente di dimensioni. 

 Vogliasi avere in generale il nnmero il egli S',„ di (p, ì quali passano per un dato S\ 

 di o, essendo A" < w. Noteremo che nella costruzione precedente il punto x si può 

 prendere su 9 in oj"~^ modi, il punto x' dell'intersezione di (p col piano tangente in 

 X si può prendere in co"-' modi, il punto x" dell'intersezione di cp coi piani tangenti 



in X e x' si può prendere in oo"-< modi , il punto a;'''' in oo""""'-' modi,. . . ., 



e finalmente il punto a; '"'in 00"-'-'" modi. I punti x, x',. . ., a;'*' determinano un S^' 

 contenuto in o e che supporremo dato ; quei punti, insieme con a;'''"*'", . . . ., a;'"' de- 

 termineranno un S'„ contenuto pure in o e passante per quel S^'. Ora a.'*"^'\ , . . , 

 X "" saranno punti qualunque del 3',,, ed in questo si potrebbero prendere in oo'"'""''' "* 

 modi ; quindi sebbene nella costruzione precedente quei punti si possono prendere, come 



vedemmo, in 00-^-*- X °o"-''*-' X X ~"-'-'"= o^^ '"■~*^ '"""'"*"'' modi di- 

 versi, pure questo numero va diviso per oo''"-''' "' se si vogliono avere degli S'„ distinti 



tra loro, cosicché di questi ve ne saranno oo~ t"'-'') (zn—ìm-k-s) • q^^^^ passino pel S'^ 

 dato. In particolare ponendo k=zO noi vediamo che per un punto qualunque x della 

 quadrica passano ool "" (^"-S'"-^) g'^ contenuti in questa. Ne segue immediatamente che 



in tutta la quadrica vi sono oa^^"''^' "-■"""•' g'^^ poiché vi sono 00 "~^ punti x, ma 

 tra questi oc"' danno lo stesso S'„ . 



Però la stessa costruzione che si é seguita mostra che essa può solo continuare finché 

 ogni punto a;''"' si ha da prendere in uno spazio il cui numero di dimensioni n — 2 — r 



non è inferiore ad m, cioè finché n — 2 — m^m, ossia m^ — -, come già prima 



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trovammo. Se n è numero impari, la costruzione può spingersi solo fino ad m = — - — , 



cioè gli spazi lineari di num.° massimo di dimensioni contenuti in a sono gli S'„_,, , i quali 



sono in numero di 00* '""' '"'"'' . Se invece n è pari, la costruzione si può spingere fino 



n — 2 



ad m = — - — , cioè gli spazi lineari contenuti in e; a numero massimo di dimensioni 



sono gli S'„_^, i quali saranno in numero di 00 s"^""''- In tal caso si finisce eviden- 



temente per dover prendere un punto a;^ " ' di e , trovare l'intersezione S „ del 



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suo piano tangente coi piani tangenti nei punti prima costrutti e nella intersezione 

 S^ „_^ di quel S'„ con © (la quale passerà per V S'„_^ determinato da quei vari 



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punti) prendere un punto x ^ che sarà congiunto ai precedenti da un S'„_^ con- 



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tenuto in o. Questo mostra che quell'intersezione S''„_^ di cui questo spazio Uneare 



dovrà fax parte, si scinde in due tali spazi lineari S'^^ di e. Quindi per n pari vi 



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 sono due. sistemi distinti di S'„_^ contenuti in o ; e su questi ritorneremo tosto. Notiamo 



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 intanto i seguenti risultati ottenuti : 



