36 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



In una quadrica generale nello spazio ad n — 1 dimensioni stanno solo degli 

 spasi lineari il cui numero delle dimensioni è al più, uguale ad o ad 



secondo che n è impari o pari; nel 1° caso vi sono oa~^ " ' "*' S'„_} , nel 2" 



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caso vi sono co* S'„_^ formanti due sistemi (*). 



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Fer m ^ — - — esistono sulla quadrica oo^ "' ^" '""'' 3'„ , sì che per 



7 • - m (i n — 3 m — 5) 



ogni punto della quaanca ne passano oo e più in generale per ogni 



„,,-,, , . /7 ^ \ ^(m — fr)(2n — 3m— A: — 5) 



S k della quaanca {h<.m) ne passano oo^ 



31. Si può pure trovare analiticamente il numero degli /?',„ contenuti in © , e ciò 

 seiTirà a confermare le cose dette. Siano x, x . . . . , a;''"' m+1 punti i quali de- 

 terminano un S' ^ . Affinchè questo sia tutto contenuto in y dorrà essere , per valori 

 qualunque delle X: 



y(Xa; + X'a;' + . . . + XWa;''"')=:0 , 

 ossia : 



\'-(^{x) + X\{x)-\-.. . + X"")'9(a;""^)+2XX>(;^,a;')+ = 0. 



Dunque sarà : 



9(x) = 0, (p(:r') = 0, 9(«('"') = 0, 



(f{x,x') = ij)(x('"-", a;t'"') = 0. 



... -,. (»» + l) (m* + 2) , . , , 



Queste equaziom sono m numero di ed esprimono che gh m-\-\ 



punti X , x, . . . , a;*"^ devono stare su co ed inoltre essere a 2 a 2 coniugati rispetto 

 a <p , cioè stare nei piani tangenti in essi a y ; il che va d'accordo coi risultati avuti 

 dai ragionamenti sintetici. Ora ciascuno di quei punti potendosi prendere ad arbitrio 

 sul S'„, cercato, lo si può assoggettare ad vi equazioni di condizione, sicché avremo 



in totale - (?» + l) (in + 2) -\- m (m -{- 1) equazioni, mentre le incognite, cioè le coor- 



dinate di quei punti saranno (m + 1 ) (w — 1 ) . Il sistema è dunque indeterminato un 

 numero di volte uguale a 



(m + 1) \{n-l) - - (m + 2)-m] = -(m + 1) (2«- 3m - 4) , 



od in altri termini la quadrica y contiene oo^ ' S'„^ , come appunto 



avevamo già trovato. 



(*) Anche il Veronese nella memoria citata nota esservi quella differenza tra i due casi di n 

 impari ed n pari (V. loc. cit. pag. 191, 192), ma incorre in un'inesattezza nell' assegnare i numeri 

 di S'n—3 od S'n— 1 contenuti in y a seconda dei due casi. Così egli trova che in un .5% vi sono 



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co' S'j , mentre dalle formule da noi trovate (m = 7) risulta che ve ne sono solo co^. Nel § seguente 

 ritorneremo sull'argomento. 



