DI COKKADO SEGRE 37 



Se poi si nota che per /.<)» ogni 5 ',„ contiene oo(* + '> '"*-*' S\ , e che la 



quadrica (p conten-à pure oo^' "*"' '""' ~' S\. , segue che per ogni ;5'j di y passerà 

 un numero di S'„, contenuti in e uguale a 



^>. + i; in — 3m— 4 — jiA-+i) (2n— 3A-— 4) + (fr+ii m — kì - m— Al > n— 3m — *— 5) 



come pure trovammo per altra via. 



32. Le ricerche conispondenti per dualità a quelle dei numeri precedenti con- 

 ducono allo studio dei sistemi lineari di piani tutti tangenti ad una data quadrica 

 non specializzata o . Ma noi vedemmo che uno spazio lineare S'^ ài punti è tutto 

 contenuto in f quando è tutto contenuto nel sistema lineare l'„, dei piani tangenti 

 a p in quei punti. Questa condizione corrisponde per dualità a se stessa, cosicché 

 possiamo conchiudere : 



I piani tangenti a o nei punti di un S',„ contenuto in essa formano un 1'^ 

 di suoi piani tangenti ; e viceversa. 



Tralasciamo per brevità di enunciare per questi 2'„ le proposizioni corrispondenti 

 a quelle trovate per gU /S'^ di a? . 



33. Ogni S'^ dello spazio ha per polare rispetto a p un S'„_^_^ , col quale 

 non ha in generale alcun punto comune, ne sta in un piano comune (Y. n° 5). 

 Supponiamo però di prendere in modo quei due spazi lineari polari che essi abbiano 

 comune un S'^ e quindi (V. n° 5) stiano in un S'„_^_^ , cioè in un 2 '„ di piani. Allora 

 tutti i punti di quel S'^ staranno su questi piani , che sono i loro piani polari ri- 

 spetto a e , e quindi staranno su y ed avranno questi per piani tangenti. Dunque 

 ogni qual volta uno spazio lineare qualunque di punti taglia in un S'^ n suo spazio 

 polare rispetto ad una data quadrica © , sempre quel S'^ è uno spazio lineare con- 

 tenuto in questa quadrica, ed il 1'^ dei piani che allora passano pei due spazi lineari 

 polari è il sistema lineare dei piani tangenti alla quadrica in quei punti. 



Caso particolare di questa proposizione è quella vista che ogni spazio lineare di 

 punti contenuti nella quadiica è pure completamente contenuto nel suo spazio polare 

 rispetto a questa. 



34. Diremo che uno spazio lineare S'^ qualunque è tangente a ^ in un punto x , 

 quando la quadrica ad m — 1 dimensioni S^^_^ secondo cui esso taglia o è specia- 

 lizzata , avendo un punto doppio in x (*). Diremo poi che un S' ^ è tangente di 

 specie (o + l)*^'"^ quando l'intersezione S'-„_, con a? è a + 1 volte specializzata, cioè 

 ha un S'^ di punti doppi. Ciascuno di questi punti doppi (punti di contatto del S'Jj 

 è in tal caso coniugato a tutti i punti di quel S'„ rispetto a quel 5'^„_, , e quindi 

 anche rispetto a g , sicché tutto quel S\ di punti doppi starà sul S'„_^_^ polare 

 del S'^ rispetto a p , onde V S'^ tangente di specie a + 1 a y si trova precisamente 



(') Questa definizione, per -/n=n-2, concorda, come vedemmo, colla definizione già data del 

 piano tangente. 



