38 STUDIO SULLE QUABEICHE ECC. 



nella condizione di cui parlammo nel numero precedente , cioè di aver comune col 

 'S''„_j_„ polare i-ispetto a o un S'^, il quale sta in conseguenza su (p. Viceversa, 

 se questo accade, r^''„_, , in cui quel S'^ taglierà cp , sarà tale che rispetto ad 

 esso i punti del S'^ saranno coniugati a tutti i punti del S'^ , e quindi saranno 

 punti doppi del 'S'^„_, , sicché V S'„, sarà tangente di specie a+1 a o. Conchiu- 

 diamo che : 



Uno spazio lineare di punti S'^ tangente di specie a + 1 alla quadrica o è 

 uno spazio lineare avente comune col suo polare un S\ [contenuto perciò in cp). 

 Due spazi polari S'^ , S'„_^_^, sono tangenti della stessa specie a (p e in uno 

 stesso S'a di <D , che è quello che essi hanno comune, e sono contenuti nel 2'„ dei 

 piani tangenti a w nei punti di quel S'^ . Dato m , il numero a non può crescere 

 al di là del minore tra i due numeri w, ed n — 2 — m. 



In particolare vi è una sola specie di piani tangenti S\^_^ (m = w — 2 , n — 2 — m=Q 

 e quindi a = 0); vi sono due specie di 'S"„_3 e di S' , tangenti, cioè l 'una avente un 

 solo punto di contatto {rt=:0), l'altra corrispondente agli S\ che son contenuti in 

 (p [a^l) ed agli S'„_^ che toccano (p in S! \ vi sono 3 specie di S^- e di S' „_^ tangenti, 

 la l'' specie (a=0) ha un solo punto di contatto, la 2'' specie (a = l) ha un Si di 

 contatto, la 3' finalmente {a ^=2) comprende gli S^ contenuti in y e gli ^S",,^ che 

 toccano o in un tale Sj ; e così via. 



35. Considerando lo spazio lineare S'„_, determinato dagli m. punti :r', x" , ..., a;'"'', 

 possiamo facilmente trovare le condizioni analitiche perchè esso sia tangente di una data 

 specie a o. Infatti, in quello spazio, la quadrica ^\,_j d'intersezione con cp avrà 

 per equazione nelle variabili )v,- (coordinati di punti sul '$'',„_,) : 



o{\x"+\x"+...+l,„x^'"^) = , 

 ossia: 



Ora la condizione di un contatto di data specie equivale allo speciahzzarsi di questa 

 quadrica, il cui discriminante è : 



(p{x' x') (f{x x") . (p{x' a;'*"^) 

 (p{x" x') (p{x" x") . (p{x" x^""^) 



(p(a;f"'W) f(x^'"h") . (p{x^"'>x'""^} 



Dunque uguagliando a zero questo determinante si ha la condizione perchè lo spazio 

 S'„_,x x' , ... , a;''"' sia tangente (semplicemente) a y, ed è facile vedere che in essa le 

 coordinate x compaiono solo in quei raggruppamenti, che costituiscono le coordinate 

 del *§„,_, considerato (V. n" 4), sicché essa potrà riguardarsi come \xa equazione 

 tangenziale di tp in queste coordinate. 



Annullando inoltre i suhdeterminanti d'ordine m —a di quel determinante si hanno 

 le condizioni necessarie e sufficienti perchè 1' S\,_^ considerato sia tangente di specie 

 a+1 affi. 



