DI CORRADO SEGRE 



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36. Ma la condizione di semplice contatto si può anche ottenere sotto un'altra 

 forma importante, supponendo V S'„,_, determinato, invece che da in suoi punti, da n — m 

 piani passanti per esso, i quali siano |', ^", ... , ^C"-"). Affinchè l'S',„_, comune a questi 

 piani sia tangente alla quadrica 



(f■^la,^XiX, ; 



in un suo punto x vedemmo esser necessario e sufficiente che esso sia contenuto nel 

 piano tangente in a; a o e che esso passi per x. Quel piano tangente in x deve dunque 

 avere coordinate della forma ,u, B-+ . . . + /:/„_„, ^. ("-"■) * cioè dev'essere: 



a„x,+ a,^x,+ . . .+«,„.r„=p.,i;+.. . +/:;.„_„ | .^"-"^ 

 a» x,+ a,,x,+ . . . +a,„x,=ij., S;+ . . . 4-f;.^_^| J»-'") 



Inoltre dev'essere per ipotesi: 



Dunque, affinchè si possano determinare le a;,- e le f;,; in modo che, senza annullarsi 

 tutte, verifichino queste equazioni, basterà che sia: 



«M 



a,n 



?/ 



l^(n-m) 



• 



. 



. 



• 



««. 



ann 



V 



■C (n—m) 



1/ 



V 







. 



'=1 



?„'"- 



") 



. 



Questa è dunque un'altra forma dell'equazione tangenziale della quadrica ip, essendo 

 ancora S' „^^ gli spazi tangenti (*). Sotto questa forma si vede immediatamente come 

 in essa non compaiano che le coordinate del <$''„_, , le quaU inoltre vi compaiono solo 

 al 2° grado (**). 



(*) Del resto si può dimostrare con trasformazioni analitiche che il' 1° membro di questa nuova 

 equazione è identico (a meno di un fattor costante) al 1° membro dell'equazione prima ottenuta, cioè 

 al discriminante della intersezione della data quadrica col S'm—i determinato dai piani ?'..., |(n—^). 

 V. D'Ovidio : o Le funzioni rael'rìche fondamentali negli spazi di quante si vogliano dimensioni e di 

 curvatura costante n. (Memorie dell'Acc. d. Lincei i877, V. pag. 21). In questa memoria trovai, dopo 

 che il presente •; era scritto, alcuni dei risultati che esso contiene (con denominazioni diverse), e che 

 credevo nuovi (V. Memoria citata, pag. 46, 47). 



(**) La forma polare 



a ni 



ann 

 t 



', n 



r, 







l^n-m) 



n ("—'») 







col suo annullarsi significa che i due S'm~\ determinati risp. dai piani ? ed >! godono della proprietà 

 che vi è un punto dell'uno avente il suo piano polare passante per l'altro. Ciò si dimostra in modo 

 identico a quello usato sopra. 



