40 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



Il primo membro di quell'equazione rappresenta le principali forme invariantive 

 della quadrica o. Per m = n essa ci dà il discriminante di (p; per ìn = n — 1 la forma 

 aggiunta di 5, cioè l'equazione della quadrica in coordinate di piani tangenti; per 

 w = w — 2 l'equazione in coordinate di S'„_^, e cosi ria; per w? = 2 l'equazione in 

 coordinate di S,' tangenti; per m = l si ha di nuovo l'equazione di f in coordinate 

 di punti. Per m r= si avrebbe un invariante identico. 



Quella forma d'equazione, avendo per coefficienti delle coordinate del 'S"„,_, i sub- 

 determinanti d'ordine m del eliscrimiuante dico, è chiaro che essa sarà soddisfatta identica- 

 mente quando questi sono tutti nulli, cioè per le quadriche specializzate n — m + l volte 

 (od un numero maggiore). Ciò significa che per tali quadriche ogni S'^_, dello spazio va 

 considerato come. tangente. E ciò si capisce, poiché una tal quadrica ha un S'„_^ (od 

 ancor più) di punti doppi, cosicché ogni <S'',„_, contiene almeno un punto doppio della 

 quadrica stessa e quindi la tocca almeno in un punto. Quindi ora siamo in grado di 

 esprimere la proprietà proiettiva dell'essere una quadrica specializzata un dato numero 

 di volte mediante la condizione dell'annullarsi identico di un controvariante (cosa a cui 

 alludevamo nel n° 28). Cosi la condizione perchè una quadrica sia due volte specializzata 

 sarà che si annulli identicamente la sua forma aggiunta. 



37. I ragionamenti fatti sul principio del presente § (V. n" 30) per trovare gli spazi 

 lineari di punti contenuti in una data superficie di 2° ordine non specializzata si possono ap- 

 plicare perfettamente al caso in cui questa sia specializzata un numero qualunque h di 

 volte, cioè abbia un /$''/,_, doppio : basterà tener conto del fatto che nei vari punti x, x , x" ... 

 che in quel ragionamento si prendono sulla quadrica i piani tangenti andranno tutti 

 in questo caso a passare per quel -S''/,_, doppio. Ma possiamo anche valerci dei risultati 

 ottenuti per le quadriche non specializzate ricordando che una quadrica /* volte spe- 

 cializzata si può sempre ottenere proiettando dal *?/,_, doppio una quadrica S\_^_i, non 

 specializzata contenuta in un 5"„_,_,, ; il quale non abbia alcun punto comune con quel 

 S'i,_, (V. n° 19). Quindi applicando a questi S^„_^_ì, i teoremi visti perle quadriche 

 non specializzate, solo ponendo n — h in luogo di n, abbiamo: 



In una quadrica li volte sjpecializsata dello spazio ad n — 1 dimensioni stanno 

 solo degli spazi lineari (passanti per quello doppio della quadrica) il cui numero di 



dimensioni è uguale (o minore) a od a secondo che n-\-h 



è impari o pari. Nel 1° caso vi sono oo» "~' ■>""'+' ^'^^^_, , nel 2° caso 

 ^^s "~' " ' ^ o n+k—^ formanti due diversi sistemi. 



n + Jl — 2 • ^„^-k+,){^H-3,n+h~!,) , 



l'cr m ^ esistono sulla quadnca co S ^ , si che 



per ogni punto (non doppio) di essa e quindi per tutto V S\ che lo congiunge 



r ogni S',^. della qua- 



' {m ~k)(in — 3m— A + 2 A — 5). 



al S'i,_, dei punti doppi ne passano oo ^ , e per ogni S\. della qua- 



drica passante pei punti doppi (/* — 1 < /.; < m) ne passano oo " 



