DI COKKADO SEGKE 41 



Applicazioni della proiezione centrale alia geometria su una quadrica. 

 Nuovi teoremi riguardanti questa geometria. 



38. Per lo studio della geometria su uoa quadrica a più dimensioni è di grande 

 utilità il metodo della proiezione centrale. Sia data una quadrica y ad « — 2 dimensióni, 

 che potremo supporre non specializzata (altrimenti basterebbe considerarne una sezione 

 fatta con un conveniente spazio lineare). Nello spazio lineare ad m— 1 dimensioni ^in cui 

 essa sarà contenuta (T. n° 7) si prenda ad arbitrio un piano, o spazio lineare ad n— 2 

 dimensioni S, e da un punto fisso P di quella quadrica preso fuori di S si conducano gli 

 Sj ai vari punti 21 di o: essi andranno a tagliare S nei suoi punti IVI , e cosi si avrà su 

 S la proiezione centrale di o, in modo che ad ogni punto M dà m corrisponderà un punto 

 M di S, e viceversa ad ogni punto IVI di S corrisponderà in generale un solo punto 

 ilf di e. In questa corrispondenza però vi saranno elementi eccezionali. Consideriamo 

 infatti il piano r. tangente in P a z e consideriamo V intersezione I ad « — 3 dimensioni 

 di esso con S e poi la quadrica C ■ ad n — 4 dimensioni in cui I taglierà «p . Dalle 

 proprietà viste del piano tangente ad una quadrica segue che un S,' qualunque condotto 

 per P nel piano - (cioè ad un punto qualunque di I ) taglia (p in due punti coin- 

 cidenti con P, esclusi gli S,' che vanno da P ad un punto qualunque dell'intersezione 

 di n con a, poiché questi S,' sono tutti contenuti in questa intersezione ; essi tagliano 

 S nei punti di C . Di qui segue che nella corrispondenza tra i punti della quadrica 

 ad « — 2 dimensioni 'j e quelli dello spazio lineare , pure ad n — 2 dimensioni , S al 

 punto P di o corrispondono in S tutti i punti dello spazio lineare ad n — 3 dimensioni 

 I (i quali punti rappresentano in certo qual modo le diverse direzioni, che sulla qua- 

 drica G vanno pel punto P), mentre tra questi punti di I quelli posti sulla quadiica 

 C ad n — 4 dimensioni di S sono tali che a ciascuno di essi corrisponde in g non un 

 solo punto, ma tutti i punti di un S/ passante per P. Quindi se consideriamo su f 

 uno spazio algebrico di dimensioni ed ordine qualunque S^„ non passante per P, gU 

 corrisponderà in S uno spazio algebrico S''^ (dove il segno S è usato per indicare uno 

 spazio contenuto nello spazio ad ti — 2 dimensioni S ) delle stesse dimensioni e dello 

 stesso ordine, il quale però godrà della proprietà di tagliare I in un S^„_, tutto con- 

 tenuto in G, perocché l'intersezione con I non è altro che la proiezione della inter- 

 sezione del S *^ con - , e questa stando su a; e tì avi-à la proiezione posta su C , se , 

 come noi supponiamo, l'S^„ considerato di e; non passa pel centro di proiezione P. 

 In particolare se m:=n — 3 e consideriamo su e; la sua intersezione 'S""„_3 con una 

 superficie algebrica qualunque ad » — 2 dimensioni di ordine ^ , siccome ogni Sj ài nf 

 taglierà questa superficie in i punti di quel S^'„_^ , così potremo conchiudere che 

 in S l'imagine di questo /S'"„_3 è un S^'„_3 passante i volte per C . 



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