42 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



39. Questa rappresentazione univoca dei punti di una quadrica a più dimensioni nei 

 punti di uno spazio lineare ad altrettante dimensioni ha una grandissima importanza (*). 

 Noi veliamo ora applicarla al caso in cui n sia numero pari per ritrovare il numero 

 deli S' _ contenuti nella quadiùca non specializzata e, vedere come vi siano realmente 



2 



due sistemi distinti di tali spazi lineari ed in quali relazioni essi stiano tra loro, e 

 finalmente trovare una proposizione assai importante per la geometria degli spazi algebrici 

 contenuti in una tal quadrica. 



Poniamo dunque w — 2 = 2^; . Allora nello spazio S a 2p + l dimensioni conside- 

 riamo la quadrica (p a, 2p dimensioni, e su essa un S'^ : la sua proiezione dal punto 

 P su S sarà un S'^, il quale, per quanto vedemmo al n° precedente più in generale, 

 taglia I in un S" contenuto completamente in C . Viceversa se in S consideriamo 

 un S' , il quale passi per un S'^_, di C, gli corrisponderà in y (oltre ad un S'^ 

 giacente su ti e passante per quel S'^_, ) un S'^ . Di qui segue che il numero degli 

 S' contenuti in ij; è uguale al numero di quegli S'^ dello spazio lineare a 2j; dimen- 

 sioni S , i quali passano per degli S'p_, contenuti in C . Ora in S quegli S '^ che passano 

 per un dato S' sono in numero di oo''. Quindi se indichiamo con X^ l'ordine d'infinità 

 del numero degli spazi lineari a p dimensioni contenuti in una quadrica a 2p dimen- 

 sioni, cosicché s essendo a 2p dimensioni conteiTà c>o'^''jS"p, e C essendo a- 2 (p — 1) 



dimensioni conterrà oo p-' S'p_,, sarà oo '' = oo''Xo= ''"' , ossia avremo: 

 donde, applicando p volte questa formula e notando che Ng = (), avremo: 



(*) La rappresentazioae comprende come caso particolare quella data dal Nothek nella memoria 

 « Zur Theorie der algebraischen Functionen mehrerer complexer Yariabeln » (Gòttinger ^'aehrichten, 

 Juli 1869) e trovata pure dal Lie, che ne fece applicazioni nell'importante sua memoria « Ueher Com- 

 plexe , insbesondere Linieri- und Kugelcomplexe , u. s. w. » ( Math. Ann. Bd. V}, rappresentazione 

 nella quale alle rette di un complesso lineare (formanti un S^, sicché qui w = 5) si fanno corrispon- 

 dere i punti dello spazio ordinario (S'j) essendovi però nel complesso una retta fissa, a cui corrispon- 

 dono tutti i punti di un piano (il piano all'infinito), e nello spazio di punti essendovi su questo piano 

 una quadrica ad ) dimensione, cioè una conica (assoluto) ad ogni punto della quale corrispondono 

 nel complesso tutte le rette di un fascio contenente la retta fissa. In seguito a questo lavoro di Lie, 

 il Klein nella memoria « Ueber Liniengeomutrie und metrische Geometrie » (Math. Ann., V, pag. 257) 

 (V. anche la dissertazione « Vergleichende Betrachtungen uber neuere geométrische Forschungen », 

 Erlangen, 187J) generalizzò la rappresentazione, estendendola ad uno spazio a quante si vogliano di- 

 mensioni, dando le formule corrispondenti e mostrando che essa si può considerare, come noi facciamo, 

 come una proiezione centrale, o, com'egli la chiama, proiezione stereografica. Notò pure il Klein come 

 essa renda equivalenti tra loi'O la geometria proiettiva di una quadrica a più dimensioni (con un suo 

 punto fisso) e la geometria metrica (euclidea) di uno spazio lineare ad altrettante dimensioni. Egli fece 

 inoltre un'applicazione molto importante delle formule di quosta rappresentazioae dimostrando con 

 esse nella memoria « Ueber einen liniengeometrischen Satz: n [Gòttinger Nachrichten, 20 Marz 1872) un 

 notevole teorema, di cui piìi tardi faremo uso, e che nel linguaggio da noi adoperato si può enun- 

 ciare così : 



Data in uno spazio lineare ad n — 1 dimensioni [dove w>5) uno, quadrica ad m -2 dimensioni^ 

 la quale non sia specialisiala come luogo più di n — 5 volte, ogni spazio algebrico ad n — 3 dimen- 

 sioni contenuto in essa si può rappresentare con un' equazione algebrica da aggiung<irsi all'equazione 

 della quadrica stessa. 



Il Veronese, nel suo lavoro già altre volte citato, applicò appunto, come noi sopra facciamo, questo 

 metodo della proiezione stereografica di una quadrica a trovare il numero degli .S'p contenuti in un 

 S',p; ma, come già notammo (V. la nota al n° 30', il suo risultato discorda da quello che noi già 

 ottenemmo nel S precedente con altri metodi e che qui ritroviamo con questo. 



