DI CORRADO SEGRE 45 



n—2 



Questo è dunque il numero degli 5" contenuti in (o, e, se si ricorda che j) = - 



2 ' 



si vede che questo risultato è identico a quello ottenuto ai n. 30, 31 per tutfaltre 

 vie. Lo stesso metodo ora usato si applica del resto perfettamente a dare gli spazi lineari 

 di vai-ie dimensioni contenuti in qualunque quadrica, poiché consiste in sostanza nel 

 ridiu-re la questione a quella identica per una quadrica (C) a, 2 dimensioni di meno 

 che la data (;). 



40. Ma ritorniamo al caso in cui © sia a 2 j) dimensioni nello spazio Sa. 2j) + l 

 dimensioni. Xello spazio S due spazi lineari S'^ non si tagliano iu generale : perchè 

 essi abbiano uu punto comune dev'essere soddisfatta una coudizione. Ila se quei due 

 S'p stauuo su s e non si tagliano, allora conducendo per uno di essi un ^S' , qualunque, 

 questo taglierà Taltro S'^ in un punto, il quale starà necessariamente su un terzo S' 

 di y , in cui quella è tagliata oltre che nel primo dal /S p^, . Si vede così come un /S' 

 di y sia tagliato da uua serie di altri S'^ di y e non sia tagliato dai rimanenti. Ora 

 per veder meglio come ciò accada facciamo uso del nostro metodo: consideriamo cioè 

 su o due S'p qualunque, e le loro proiezioni S'^ su S . Lo spazio S essendo a 2p 

 dimensioni, i due S'^ hanno sempre comune un punto (uno spazio lineare di punti per 

 eccezione, ma a noi non importa questo caso), il quale potrà stare o non su G . Se questo 

 punto non sta su C , esso sarà la proiezione di un punto determinato di y , il quale 

 dovrà esser comune ai due S'^, considerati; se invece quel punto sta su C, siccome non 

 sarà più immagine di un punto determinato di y, quei due S'^ non avranno alcun punto 

 comune in generale. Ora le proiezioni S'^ di questi contengono due S'p_, di C , i quali 

 corrispondono così in un certo senso agli *S"^ e noi vediamo che in generale due 

 S' della quadiica e a 2j) dimensioni hanno ovvero non un punto comune secondo che 

 non hanno od hanno un punto comune i due corrispondenti S'p_, della quadrica C a 

 2 (_p — 1) dimensioni. Ora anche per questi possiamo ridurci a due S'p_, di una quadrica 

 a 2 (p — 2) dimensioni, ecc.; finché finiremo per giungere ad una quadrica a 2 dimensioni 

 (quadiica ordinaria), nella quale, quando pure fosse ignoto, si dimostra ancora collo 

 stesso metodo della proiezione di essa da un suo punto su un piano (con che gli S', 

 rette che essa contiene si proiettano in due fasci distinti dir ette di quel piano) che 

 esistono due sistemi ben distinti di S\ tali, che due di questi si tagliano soltanto ove ap- 

 partengano a sistemi diversi. Di qui segue adunque la seguente importante proposizione: 



In ogni S\p vi sono due sistemi ben distinti di S'^ . Se p è numero impari si 

 tagliano in generale soltanto due S'p di diverso sistema. Se invece p è pari, si tagliano 

 in generale soltanto due S'^ se sono dello stesso sistema (*). 



Questa proposizione stabilisce una differenza essenziale tra le quadriche, il cui 

 munero di dimensioni è pari semplicemente e quelle per cui è doppiamente pari, dif- 



(') Questo vale, come diciamo, in generale, cioè par due S'p presi comunque; ma anche la dimo- 

 strazione data, prova ciò che si vede direttamente senza difficoltà, cioè che si possono sempre costrurre- 

 degli S'p dello stesso o di diverso sistema ad arbitrio, i quali si taglino in un S'q , essendo j <p — ì. 

 In particolare, dato un S'p qualunque di una quadrica a 2.p dimensioni, e conduceudo per esso un. 

 S'p+i. ad arbitrio, questo taglierà ancora la quadrica in un S'p appartenente all'altro sistema. 



