44 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



fereuza che non credo sia stata avvertita sinora (*). Essa risalterà ancora di più in 

 un teorema generale che ora dimostreremo. 



41. Consideriamo sulla quadrica a 2j9 dimensioni cp uno spazio algebrico qualunque 

 a p dimensioni. Ogni <S"^_^, dello spazio S lo taglierà in un numero di punti uguale 

 al suo ordine, e siccome tra questi S'p_,_, ve ne sono, come sappiamo, di quelli che 

 tagliano la quadrica © secondo due S ^ di diverso sistema, così conchiudiamo che ciascuno 

 di questi taglierà quello spazio algebrico in un certo numero di punti, sì che la somma 

 di questi due numeri sarà uguale all'ordine di quello. Indicheremo con -S^''"'' un tale 

 spazio algebrico contenuto nella quadrica co e tale che ogni S' di <p di un 1° sistema 

 lo tagli in generale in 1 punti, mentre ogni S'^ del 2° sistema lo tagli in in punti, 

 essendo l + m l'ordine di quello spazio. Ciò posto noi vogliamo risolvere la questione 

 se due tali spazi algebrici hanno punti comuni in generale, e quanti ne hanno. 



P^r questo notiamo anzitutto che l'imagine su S di un S^^' ""^ di y è un S '"^"^ 

 che taglia I in un S^_, giacente su C e proiezione su S dell'intersezione di n col 

 jS* ''"■'. Ogni S'p del 1° sistema di f, il quale passi per P, starà su t: e taglierà quel 

 g (.'"') in l punti: esso poi taglierà S in un S'^_, del 1° sistema di C , il quale taglierà 

 adunque 1' S^_, di cui si tratta negli J punti imagini di quelli. Considerando pure il 

 2° sistema di S' di y e di S'^_, di C , si vede così come la proiezione del S^'-' ""' 

 di (p su S è un S^''^" che passa per un Sp_/' ""'di C . 



Ciò premesso, consideriamo sulla quadrica © un ^S*^^' '"' ed un S^'-'' '"'' : le loro pro- 

 iezioni dal punto P su S saranno un S^'"^"' ed un S^"''"'"', che si tagliei'anno in generale 

 in (l + m) (l + m) punti (V. n° 6). Però tra questi corrisponderanno a punti comuni 

 del Sj-' "'^ e del S^^^' "^'^ solo quelli che non stanno su C , cioè che non sono i punti 

 d'intersezione di quegli S^_/''"', Sp_, <'''"'' in cui, dietro quanto fu premesso, i suddetti 

 8 '*"" e <S"' ''"'"' tagliano C . Quindi se diciamo X^ il numero cercato dei punti comuni ad 

 un S J-' '"^ e un S^^'' "''' di una quadrica a 2p dimensioni, numero che, supponendo l m 

 e V m' fissi , è ima funzione di p , avremo ; 



X^={l + vi){l'+m')-X^_, . 



Da questa relazione segue immediatamente : Xp = Xp_^ . Per avere X^ notiamo che esso 

 sarà il numero relativo ad una quadrica S^^, cioè una coppia di punti nell'uno dei quali 

 stanno 1 punti del Sj-' ""' ed l' punti del Sj'''"'^ e nell'altro risp. m punti ed ni' punti; 

 cosicché il numero X^ dei punti comuni a questi Sj-'"'\ Sj''""'^ va considerato come 

 uguale ad W -+- mm . Dunque sai'à, ricordando le relazioni trovate : 



Xp^=ll' -\-mìn' per p pari 

 Xp^=lm'+l'ìH per p impari , 



e cosi otteniamo il seguente teorema : 



(*) Però il Cayley in una nota intitolata n On the superlines of a quadric surface in fivedi- 

 tnensional space ■> (Quarterly Journal, voi. XII, 1873) fu condotto dalla considerazione delle rette dello 

 spazio, come formanti una sup3rflcie quadrica in uno spazio a 5 dimensioni, a notare la differenza 

 suddetta, ma solo tra le quadriche ordinarie dello spazio a 3 dimensioni e le quaJriche dello spazio 

 a 5 dimensioni. 



