DI CORIÌAPO SEGRE 45 



In ogni S\p il numero dei punti comuni a due spazi algebrici a p dimensioni 

 Sj-'""^ e Sp^''"''^ è eguale a ìm' gl'ili se p è impari, ed è uguale a ll' + mm' se 

 p è pari. 



Quest'importante teorema comprende evidentemente come caso particolare (corri- 

 spondente a valori particolari di 1, m, V , m') quello trovato al n" precedente. Ponendovi 

 poi anzitutto jj = 1 , abbiamo per la geometria su d'una quadrica ordinaria a 2 dimensioni 

 un teorema dovuto allo Chasles (*). E ponendovi poi p = 2 abbiamo la proposizione 

 relativa ad una quadrica a 4 dimensioni , e vedremo a suo tempo cbc considerando 

 la retta dello spazio ordinario come l'elemento di una tal quadi-ica, quella proposizione 

 costituisce l'importante teorema di Saìphen sul numero delle rette comuni a due 

 sistemi doppiamente infiniti di date caratteristiche. 



Generazione delle quadricJie con sistemi reciproci. 



42. Lo studio fatto nei §§ precedenti degli spazi lineari di punti contenuti in 

 una data quadrica ha stretta relazione colla questione della generazione di questa 

 mediante foime proiettive. Questa è appunto la questione che ora risolveremo. 



Abbiansi due sistemi lineali m — 1 volte infiniti di superficie algebriche nello spazio 

 di punti ad n — 1 dimensioni, sistemi taU che ad ogni superficie dell'uno ne conisponda 

 un sistema lineare m — 2 volte infinito dell'altro, e viceversa ad ogni sistema lineare 

 ni — 2 volte infinito di superficie contenuto in questo corrisponda una sola superficie 

 del primo sistema; diremo allora che essi sono reciproci. Ci proponiamo anzitutto di 

 determinare il luogo dei punti dello spazio comuni ad una superficie del 1° sistema, 

 ed a tutte le corrispondenti superficie del 2° (**). 



Siano : 



(1) \U,+KV^+ ... +KU^=:0 , 



(2) ,a. r, + p., v^+ ... +p.^r„ = o , 



le equazioni dei due sistemi lineari di superficie, nelle quali i simboli U, V rappresentano 

 funzioni date delle coordinate di punti risp. dei gradi dati l, Jc, e le X, p, sono i pa- 

 rametri variabili delle superfìcie dei due sistemi. Affinchè questi parametri appartengano 



{*) u Propriélés générales des courbes gauches tracees sur Vhyperholoìde » (Comptes-rendus , Dee. 

 1861, t. 53, pag. 10T7). — Anche altri teoremi conteauti in questa memoria si potrebbero estendere 

 alle quadriche a più dimeasioni, facendo uso del nostro metodo. Però non lo facciamo per non di- 

 lungarci troppo. 



(") 11 Padova, nella memoria « Della generazione delle superficie mediante reti proiettive tt (Gior- 

 nale di Battaglini, voi. 9], fece pel primo questa ricerca analiticamente. Però egli considerò solo il 

 caso delle reti di superficie nello spazio ordinario ; inoltre il ragionamento , di cui noi qui facciamo 

 uso, pare preferibile per eleganza e semplicità a quello usato in quel lavoro. 



