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STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



a superficie corrispondenti dovi-anno, per la definizione data della reciprocità, soddisfare 

 ad un'equazione bilineare fissa tra le due serie di variabili X e fi.. Sia : 



(3). 



y,. 



,A.>..-F.A=0 



quest'equazione, in cui le a,;^ siano costanti date. Consideriamo un punto qualunque 

 X del luogo cercato ; vi sarà per ipotesi un determinato sistema di valori delle X pei 

 quali X soddisferà l'equazione (1) e pei quali inoltre tutti gl'infiniti sistemi con-ispon- 

 denti per la (3) di valoii delle [j. saranno tali che, sostituiti nella (2), questa sarà 

 sempre soddisfatta dal punto x. In altri termini le equazioni (2) e (3) lineari nelle 

 u. devono equivalersi se vi si pongono il punto considerato x ed il sistema considerato 

 di valori delle X. Dunque dev'essere: 



(4). 



P 



n 



^2j"-*-^'. ' 



(^■ = 1, 



.VI 



essendo o costante rispetto a k, ed essendosi nelle V/, sostituite le coordinate del punto x. 

 Ma le X devono pur soddisfare la (1), cioè: 



=y\ 



u,k. 



dove nelle U^ si sia fatta la stessa sostituzione. Dunque, eliminando tra queste m + 1 

 equazioni omogenee |3 e le X,-, il punto x dovrà soddisfare l'equazione: 



(5). 





 F. 



a,. 





= 



Viceversa se il punto x soddisfa quest'equazione si potranno determinare le X in guisa 

 da soddi=;fare la (1) e le (4), e queste mostrano che allora quel punto starà su una 

 superficie determinata (X) del sistema (1) e su tutte quelle (/j.) corrispondenti del 

 sistema (2). Dunque l'equazione (5) è quella del luogo cercato. Essa essendo simmetrica 

 rispetto alle Z7, V ci mostra che questo luogo è una superficie d'ordine l-\-'k (*) , 

 la quale è pure luogo dei punti comuni ad ogni superficie del 2° sistema ed a tutte 

 le corrispondenti del 1° sistema. Se le superficie di un sistema hanno punti comuni, 

 l'equazione (5) mostra pure che essi apparterranno alla superficie così generata. 



(") La trattazioae del problema qui considerato si può pur fare siateticameate senza difficoltà. 

 Così questo risultato si dimostra brevemente come segue col principio di corrispondenza. Consideriamo 

 un 5', qualunque: per ogni suo punto passa un sistema lineare m' — 2 volte infinito di superficie del 

 primo sistema, cui corrisponderà nel 2° una determinata superficie, che taglierà quel 5', in k punti; 

 viceversa se prendiamo uno di questi vi passerà un sistema lineare m — 2 volte infinito di superficie 

 del secondo sistema, cui corrisponderà una sola superficie del 1", la quale taglierà 1*5', in l punti. Vi 

 è dunque su questo una corrispondenza {l , rn) i cui l-\-m punti uniti staranno sul luogo cercato, che 

 è quindi di ordine l-^m . 



