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43. Poniamo in particolare ? = /i:= 1, cioè che i sistemi lineari reciproci considerati 

 (1) e (2) di superficie siano sistemi lineari di piani. Allora la superficie (5) da essi 

 generata sarà una quadrica: vediamo se sia specializzata o generale. Indicando con Aif, 

 il subdeterniiuante complementare di a^f. nel determinante 



dell'equazione di reciprocità (3), l'equazione (5) della quadrica si potrà scrÌTere: 



ik 



Annullando le derivate parziali di quest'equazione rispetto alle n coordinate, si hanno 

 n equazioni tutte omogenee lineari nelle 2 m espressioni U e V. Quando 2 tn ^ n è 

 facile persuadersi che in generale non vi saranno punti soddisfacenti quelle n equa- 

 zioni derivate, cioè non vi sai'anno punti doppi. Ma quando 2 m < n, allora quelle n 

 equazioni sai-anno soddisfatte dai punti comuni ai piani U, V dei due sistemi reciproci 

 (1), (2), punti che in tal caso formano un S'„_^^_,, pel quale passano i sostegni 

 S'„_^_, dei due sistemi reciproci. Dunque nel caso in cui 2jm < «, la quadrica generata 

 da questi è in generale specializzata n — 2 m volte, avendo per punti doppi i punti 

 comuni ai sostegni dei due sistemi reciproci. Conchiudiamo dunque: 



Due sistemi lineari reciproci ad m — 1 dimensioni di piani generano colle inter- 

 sezioni dei. piani dell'uno contutti quelli corrispondenti delV altro una quadrica passante 



n 

 pei sostegni dei due sistemi; quando m<i— questa quadrica è specializzata n — 2m 



volte, avendo per punti doppi quelli comuni a quei due sostegni. In particolare due 

 fasci proiettivi di piani {m^ 2) generano colle intersezioni dei piani corrispondenti 

 una quadrica avente per punti doppi l' S'„_^ che è in generale comune ai sostegni 

 dei due fasci. 



La condizione m ^— ■ affinchè la quadrica generata non sia specializzata è ben 

 naturale, giacché i sostegni sono S'„_^_^ e stanno sulla quadrica: quindi perchè questa 

 non sia specializzata dev essere n — in — 1 ^ — - — , cioè appunto «? S — . 



44. Possiamo ora invertire il risultato ottenuto ricordando la proposizione a cui 

 giungemmo nel § 2 (n" 25), che due quadriche specializzate uno stesso numero h di 



volte si possono trasformare l'una nell'altra in oo ^ ^ modi. Di qui segue infatti 



che se una quadrica h volte specializzata è generabile con sistemi reciproci di piani 

 di una certa specie, tutte le quadriche h volte specializzate saranno generabili a quel 

 modo, ed inoltre si potranno mutare in infiniti modi i sistemi reciproci (ed i loro sostegni) 

 atti a generare una stessa quadrica. Invero, considerando anzitutto una quadrica generale, 



essa contiene ;V. n° 30) co i ^"-"''> '■^'"~""^ S' „_„,_,, e quindi le condizioni perchè i 



