48 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



sostegni di due sistemi reciproci generanti un'altra quadrica, che si può in oo» " " 

 modi trasformare in questa, si trasformino appunto in due dati S'„_^_, di questa saranno 

 ^w — ,b) (3 7H —n— 1), sicché di parametri disponibili nella trasformazione ne ri- 

 mangono : 



i n(w— l) — {n — m) (Sm—n — l) = S ìu''— {i n + 1) m + l(3n''+n) , 



numero che è sempre positivo, qualunque siano in ed n (purché n > 1), e che esprime 

 l'ordine d'infinità del numero di modi in cui i 2 sistemi lineari di piani aventi i sostegni 

 scelti si possono ancora riferire reciprocamente tra loro sì da generare la data quadrica. 

 Dunque : 



Ogni qiiadrica si ^uò generare come luogo delle intersezioni dei piani corri- 

 spondenti di due sistemi reciproci di piani, i cui sostegni si possono prendere ad 

 arbitrio sulla quadrica; la specie dei due sistemi atti a questa generazione può 

 esser qualunque, purché tale che la quadrica data, specializsata o non, sia capace 

 di contenerne i sostegni (*). 



Ad esempio una quadrica generale dello spazio ad n — 1 dimensioni può generarsi 

 con due sistemi lineari reciproci di piani ad « — 1 dimensioni (niz=n), cioè con una 

 correlatività tra due spazi sovrapposti, come luogo di. quei punti dello spazio che stanno 

 sui piani corrispondenti. Può generarsi con due sistemi lineari reciproci ad n—2 di- 

 mensioni di piani (mì = m— 1) aventi per sostegni due punti arbitrari della quadrica 

 e nei quali ad un piano dell'uno corrisponde un Sj nell'altro. E così via. Se n è 



n — 1 

 impari si può solo andare fino ai sistemi lineari di piani ad — - — dimensioni ; se 



Li 



n—2 . 

 invece n é pari, si può solo andare fino ai sistemi lineari di piani ad — - — ■ dimensioni. 



Se invece la quadrica data é specializzata h volte, e si prendono i sostegni dei 

 due sistemi lineari reciproci si, che passino pei suoi punti doppi, allora si può prendere 



/Vi 1 7i 



il numero delle dimensioni di quei due sistemi da n — 1 fino a oppure 



n — 2—h 



secondo che 1 uno o 1 altro dei due numeri è intero. Del resto, questo caso si 



Li 



deduce da quello di una quadrica non specializzata, considerando in luogo della data la 

 sua intersezione con un (S"„_,_/, , che sarà una quadrica non specializzata, e proiettando 

 tutto dal 'S"a_, doppio della data quadrica. Gli è chiaro che proiettando sistemi lineari 

 reciproci di S'„_^_,, posti in quel *S"„_,_,, si hanno sistemi lineari reciproci di piani 

 nello spazio S. 



45. Per ultimo osserviamo che quando si ha una quadiica a numero pari di di- 

 mensioni S^^p , essa è generabile con sistemi reciproci di piani aventi per sostegni due SJ 

 contenuti in essa, e siccome gli S^' della quadrica formano in tal caso due diversi sistemi, 



(') Questo teorema si trova già, senza dimostrazione, nella memoria citata del Veronese (loc. 

 cit., pag. 11^2). 



