50 . STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



PARTE SECONDA. 



FASCI E SCHIERE DI QUADEICHE ; QUARTICHE OMOFOCALI 



§ 1- 

 Fascio di quadriche e polarità rispetto ad esso. 



46. Abbiansi nello spazio di punti S a,d n— 1 dimensioni due quadriche 



Tutte le quadriche, che si ottengono dall'equazione 



lo + iJ.f=0, 



dando al rapporto X : jU tutti i valori possibili, diconsi formare un fascio di quadriche. 

 È chiaro che esse si possono anche definire come quelle quadriche che contengono tutti 

 i punti comuni alle due date (p, f. Questi punti comuni formano (V. n° 6) un S,^_^, che 

 costituisce la base del fascio e che noi chiameremo quartica (mentre non daremo tal 

 nome a quegli S\_^, che non si potessero ottenere in questo modo). 



47. Consideriamo i punti in cui le quadi'iche del fascio sono tagliate da uno spazio 

 lineare qualunque di punti, p. e. da un S'^_, rappresentato dalle equazioni : 



a;;=2X"-'a;;f'-' (r = l, . . . , m){i = l, ...,«) , 



r 



in cui gli x'-''^ sono m punti dati che determinano 1' S'„_, , e le X'""^ sono variabili, che 

 si possono considerare come coordinate di punti sul S'^_^. Facendo questa sostituzione 

 nell'equazione del fascio 



l(p{x) + iJ.f{x) = , 

 essa diventa : 



rs rs 



e quindi nelle m coordinate omogenee X^'"' sullo spazio S',„_, rappresenta un nuovo fascio 

 di quadriche ; sicché ogni spazio lineare di punti di S taglierà il dato fascio di quadriche 

 secondo un nuovo fascio di quadriche a minor numero di dimensioni : base di questo 

 nuovo fascio sarà l'intersezione di quello spazio lineare colla quartica base del dato 

 fascio. In particolare, ponendo w* = 2, ogni <§/ dello spazio S taglia il fascio di quadriche 

 dato nelle coppie di punti di un'involuzione quadratica. 



