DI CORRADO SESRE 



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48. Volendo vedere quali tra le quadriche del fascio dato siano tangenti al 

 S'„_, considerato basta far uso del criterio generale dato al n" 35. I loro parametri 

 X ■■ ,a saranno dunque dati dall'equazione : 



I lf{x^'-^x^''^) + iJ.f(x'-'x^'^) 1 = 0. 



Notando che quest'equazione è del grado ni in X : fx possiamo dunque conchiudere : 



Ogni S'„_, dello s^asio è toccato in generale da m quadriche di un dato fascio. 

 In particolare per un punto qualunque dello spazio passa una sola quadrica di 

 questo, un Sj è toccato da due, un S^' da tre, ecc. ; un piano /S"„_^ dello spazio 

 è toccato da n — 1 quadriche del fascio. 



49. La stessa cosa si dimostra supponendo che r^',„_, di punti sia determinato 

 mediante n—m piani £', |", . . ., ^'"~"'' passanti per esso. In tal caso la condizione 

 di contatto colla quadiica {'>■, y.) del fascio diventa (V. n° 36): 



Xa,,+p.c., . Xa,„ + //.c,„§/ . I/"-"' 



Xa„,+ p.c„, 



1/ 



(n — m) 







 



= 



equazione che, imaginata svolta secondo le ultime n — m orizzontali e verticali, non solo 

 si mostra del grado m in X : p. , a conferma del risultato già avuto, ma inoltre contiene 

 questo X :,u. solo nei sub determinanti d'ordine m del discriminante della quadrica Xy -+- fi-f. 

 Ciò prova che, se vi è un valore di 1 ■ p. al quale corrisponda una quadrica specia- 

 lizzata (come luogo) un numero di volte che sia ^ n — m -+- 1 , quel valore di X : fi 

 annullando per conseguenza quei subdeteiminanti d'ordine m sarà una radice dell'equa- 

 zione scritta in X : /;. , e precisamente una radice, in generale , del grado stesso a cui 

 esso è radice simultaneamente di tutti quei subdeterminanti. Dunque : 



Una quadrica li volte specializzata di un dato fascio di quadriche conta tante 

 volte tra le m quadriche tangenti ad un /S"^_, qualunque dello spazio {^essendo 

 m —l^ìi — h) quante sono le unità contenute nell'ordine di multiplicità a cui la 

 radice corrispondente X : p. del discriminante di una quadrica indeterminata If -i- [xf 

 del fascio entra come radice simultaneamente in tutti i subdeterminanti d'ordine m. 



Questa proposizione importante verrà completata nel seguito. 



50. Un punto qualunque x dello spazio ha per polare rispetto alla quadrica 

 X c) -^ [i.f del fascio il piano di coordinate 



|,= X©; {x)-]rp.fi {x) . 



Dunque, variando \: p. , quel piano descrive un fascio. I piani polari di un punto 

 rispetto ad un fascio di quadriche formano pure un fascio. L' S'^_^ comune a questi 

 è dunque il luogo di quei punti che sono coniugati di x rispetto a tutte le quadriche 

 del fascio. Del resto è chiaro, anche senza ricorrere ad equazioni, che i punti comuni 



