52 STUDIO SULLE QUADEICHE ECC. 



ai piani polari di x rispetto a due quadriche del fascio saranno coniugati di x rispetto 

 ad entrambe e quindi anche rispetto a tutte le quadriche del fascio, e quindi staranno 

 in tutti i piani polari di x, onde questi formeranno pure un fascio. In particolare tra 

 i piani di questo fascio quello che passa pel punto x sarà il piano tangente all'unica 

 quadrica del fascio dato, la quale passi per x. Se il punto x stesso su quel 'S''„_3 , 

 che diremo suo polare rispetto al fascio di quadriche, allora starebbe pure sui suoi 

 piani polari rispetto a tutte queste, e quindi anche su queste, cioè il punto x starebbe 

 sulla quartica base del fascio, e quel S' „_^ passante per esso sarebbe tangente a tutte 

 le quadriche di questo, e quindi anche, come si vede facilmente , a quella quartica. 

 Considerando una quadrica h volte specializzata del fascio, il piano polare di x 

 rispetto ad essa passerà per tutto 1' 8 /,_^ doppio di essa, e quindi 1' S'„_^ polare di 

 X rispetto al fascio giacendo su quel piano taglierà quel »S"/,_, secondo un S'/,_^ (per 

 7i>l), e non soltanto secondo un 'S''/,_3 come accade per un ^'„_3 qualunque dello 

 spazio S. Diremo allora che yS'„_j è secante del S\_,. Quindi conchiudiamo che: 



Gli 'S"„_3 polari dei punti dello spazio rispetto ad un dato fascio di quadriche 

 sono secanti dei sistemi di punti doppi delle quadriche del fascio specializzate più 

 d'una volta. 



51. Le espressioni date nel n" precedente delle coordinate del piano polare di 

 x rispetto alla quadrica (X, p.) del fascio dato mostrano che : 



Il fascio dei piani polari di un punto rispetto ad un fascio di quadriche cor- 

 risponde proiettivamente a questo fascio. 



Se consideriamo in particolare quelle quadriche fisse del fascio le quali sono 

 specializzate, i piani polari corrispondenti sono determinati dal dover passare pei sistemi 

 di punti doppi appartenenti a quelle quadriche specializzate, e noi vediamo che gli 

 /S"„_3 polari di punti dello spazio rispetto al fascio di quadriche godono della proprietà 

 che i gruppi degli r piani passanti per essi e per i sistemi di punti doppi delle r 

 quadriche specializzate del fascio sono tutti tra loro proiettivi. Nel caso più generale 

 si ha r = Ji, poiché in generale l'equazione 



di grado n in X : /y, ha w radici distinte, che corrispondono ad n quadi'iche semplice- 

 mente specializzate del fascio. Orbene si considerino gli n punti doppi di queste. Ogni 

 /S''„_3 dello spazio, il quale sia polare di un punto rispetto al fascio di quadriche gode 

 della proprietà che gli n piani che lo congiungono a quegli n punti fissi formano un 

 gruppo che rimane sempre proiettivo a se stesso mutando quel S\,_^ , cioè un gruppo 

 che è proiettivo al gruppo delle n quadriche specializzate, o delle n radici di quel- 

 l'equazione di grado n in ). : (j. (Viceversa la condizione che quel gruppo rimanga sempre 

 proiettivo ad uno dato equivalendo ad « — 3 condizioni semplici ed essendo co^'"~^' il 

 numero di S' „_^ dello spazio, segue che, assoggettando questi a quella condizione, il loro 

 numero si riduce ad co"~', quale è appunto il numero degli <S''„_3 polari di punti dello 

 spazio rispetto al fascio di quadriche; cosicché questo sistema di /S"„_3 equivale a 

 quello assoggettato alla prima condizione). 



