DI COKKADO SEGEE 53 



Se supponiamo n = 4 otteniamo così il teorema noto che nello spazio ordinario 

 a 3 dimensioni le rette polari dei pimtì dello spazio rispetto ad una coppia di quadi'iche, 

 od al loro fascio sono tali che da esse i vertici dei 4 coni di questo sono proiettati 

 con 4 piani aventi un rapporto anarmonico costante, cioè sono le rette di un complesso 

 tetraedrale. L'analogo di questo in uno spazio ad n—1 dimensioni qualunque è dunque 

 l'insieme di quegli S'„_3 che, congiunti ad « pimti fissi dello spazio danno n piani 

 foi-manti un gi'uppo di dati rapporti anarmonici (od invarianti assoluti). 



52. Un S,' qualunque dello spazio ha, come sappiamo, per spazio polare rispetto 

 ad ogni quadi-ica del fascio dato xm S'„_^, , che è l'intersezione dei piani polari rispetto 

 ad essa di due punti fissi qualunque del S,'. Dicendo x', x" questi punti ed indicando 

 in generale con Z^, e Mf. i primi membri delle equazioni dei piani polari del punto 

 dato 0.-'*' rispetto alle quadriche o ed f, i piani polari di x', x" rispetto alle quadriche 

 del fascio la-^-fJ. f avranno per equazioni : 



IL, ^iJ.M, = , 

 IL, -+- u. M, = , 



e quindi gli S'„_. d'intersezione dei piani che corrispondono ad una stessa quadrica 

 avranno per luogo la supei-ficie d'equazione: 



L, M, 

 L, M, 



= 



Ora, questa rappresenta una quadrica generabile con fasci di piani proiettivi (ed avente 

 quindi in generale un S'„_^ doppio) avente un secondo sistema di (generatrici) S'„_^ , 

 che risultano dalle equazioni 



K L, + \ i, = 



facendovi variare A-, : h^, e sono gli 'S''„_3 polari dei punti Qc^x -+■ \x") del Si conside- 

 rato rispetto al fascio dato di quadriche. 



L'5'/ taglia quella quadrica in due punti, i quali staranno in conseguenza risp. 

 sugli 'S"„_3 polari del S^ rispetto a due certe quadriche del fascio e quindi saranno 

 punti di contatto del S' con queste due quadriche. Così vediamo confermato il fatto 

 che ogni S' tocca due quadriche di un fascio. 



53. Un ;S'^' qualunque ha per polare rispetto ad ogni quadrica del fascio un 

 '5'„_4 , cosicché il luogo di questi sarà un >S„_3 , di cui cerchiamo l'equazione. Sia VS^ 

 rappresentato da Ic^x'-'r h^x'+'k^x" 'dove £, , \, Tt^, variano, mentre i punti od, x" , x" 

 sono fissi. L' S'„_,^ polare di quel S^ rispetto alla quadrica ).<p + iJ.f sarà rappresentato 

 dalle equazioni lineari (litenendo le notazioni precedenti i* e M^) : 



1L, + jJ.M, = 

 IL, + IJ.M, = , 



