54 STUDIO SULLE QUADKICHE ECC. 



e quindi, variando la quadrica nel fascio, il luogo di quel 'S''„_^ avrà per equazioni: 



L. A Ì3 



Jf , M, M, = . 



ed è quindi uno spazio cubico Sl_^^ che taglierà V S^ in 3 punti comuni a questo ed 

 ai suoi S'„_, polari rispetto a 3 quadiiche del fascio, laonde quelli saranno i punti 

 di contatto del S^ con queste 3 quadriche. Ma la forma di quell'equazione mostra 

 che essa è soddisfatta da quei punti pei quali le due equazioni 



sono identiche tra loro, cioè da quei punti pei quali passano solo piani corrispondenti 

 tra loro di questi due sistemi proiettivi doppiamente infiniti, ossia passano 'S''„_3 cor- 

 rispondenti di quei due sistemi. È chiaro che i piani corrispondenti di questi sistemi 

 si tagliano secondo gli «S''„_3 polari dei punti del >S'^' dato rispetto al fascio di quadriche, 

 e ciascuno di questi S'„_3 taglia r'S'^_3 precisamente nel S^_^ in cui (escludendo la 

 parte L, = L^ = L}=^ 0) questo è tagliato dal piano JCjL, + Jc^L^-\-J{^L^=^0. 

 Quindi quegli S'„_^ sono secanti del Sl_^, cioè, invece di tagliarlo in spazi di 3° 

 ordine ad w— 5 dimensioni, lo tagliano in 'S'\_^ . 



54. In generale consideriamo r5"„_, di punti rappresentato da 

 Jc,x'+ Kx"+ . .. + Z-„a;('"' : 



il suo <?'„_„,_, polare rispetto alla quadrica \x + (j.f del fascio dato sarà determi- 

 nato dalle equazioni 



ed il suo luogo avrà quindi per equazione : 



M. 



M„ 



= , 



sicché sarà, com'è facile vedere, un <S""„_„, (*). Questo taglia in generale VS'^_, dato 

 in m punti, che saranno i punti di contatto di questo colle m quadriche ad esso 

 tangenti. Quell'equazione rappresenta pure il luogo di quei punti pei quali passano due 

 iS"„_„ corrispondenti dei due sistemi lineari proiettivi : 



K L, + K i,+ ...+^,„i,„=0 



(*) La teoria dei luoghi generati da sistemi proiettivi di piani, il loro doppio modo di genera- 

 zione e la considerazione degli spazi lineari secanti, si trovano svolti in modo completo nel lavoro del 

 Veronese, che ne fa pure importanti applicazioni (V. memoria citata, pag. 215 e seg.). 



