56 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



tica Q. Viceversa poi, se un 'S'^,„_, è contenuto in Q, esso sarà determinato dall'in- 

 tersezione di un S',„ contenuto in una determinata quadrica del fascio con qualunque 

 altra, o, in casi più particolari, starà in un S'^ contenuto in Q; invero ogni xS'^„,_, 

 sta in un S'„^ (V. n" 7) e se si considera un punto esterno al -S",„_, , ma posto su 

 questo S'^, per esso passerà una determinata quadrica del fascio (oppure tutte, e 

 quindi anche la quartica Q), la quale, tagliando r>S"„, in quel punto oltre che nel 

 ■S'^„_, , conterrà tutto V8'^. Quindi noi vediamo che ad ogni quadrica del fascio cor- 

 risponde un sistema di 'S'^„_, contenuti nella quartica Q, cioè gli S\,_, pei quali gli 

 ;S''„, che li contengono sono gli ^S* „ contenuti nella quadrica considerati. Diremo 

 dunque che ad ogni quadrica passante per la quartica Q corrisponde una generazione 

 di questa, sicché questa ha infinite generazioni corrispondenti a quelle infinite qua- 

 driche; in particolare essa ha delle generazioni specializzate corrispondenti alle qua- 

 driche specializzate del fascio. Ad ogni generazione corrispondono, secondo che n è 

 impari o pari (V. n° 30) 



Un—i] [n+iì l 7i(«-2) 



oo'^ ò „_, ovvero oo" "^ n-4 



(formanti in questo caso due sistemi) , né le appartengono in generale spazi quadratici 

 di maggior numero di dimensioni, l.'er un punto qualunque della quartica passano di 

 ogni generazione a seconda dei due casi : 



oo" 'J „_,■; ovvero oo» S\_^ . 



57. Fanno solo eccezione quelle generazioni (in numero finito ^ n) della quar- 

 tica, le quali sono specializzate. Consideriamo una quadrica h volte specializzata del 

 fascio: avi'à un S\_, doppio, il quale o taglierà un'altra quadrica del fascio secondo 

 un /S'*/,_^ (purché 7t>l), oppure vi sarà tutto contenuto; si avi'anno così sulla quar- 

 tica un S\_^ oppure un S'/^_, tutto composto di punii doppi di questa, cioè di punti 

 tali che ogni S\ passante per uno di essi taglia la quartica stessa in 4 punti, di 

 cui due sempre coincidono in quello. In fatti ogni tal S\ (piano, nello spazio ordi- 

 nario) taglia la quadrica specializzata considerata secondo una coppia di >S' ', (rette, 

 nello spazio ordinario) tagliantisi in quel punto e taglia un'altra quadrica del fascio 

 in un S^^ (conica) passante pel punto stesso, onde in questo coincidono appunto due 

 dei 4 punti d'intersezione di questo 8^ con quella coppia di 8\ , cioè dei punti 

 d'intersezione del S\ colla quartica. Diremo sistema di punti doppi della quartica 

 tutti quelli così ottenuti da una stessa quadrica specializzata del fascio. 



Viceversa ogni punto doppio della quartica, come fu dianzi definito, apparterrà 

 ad im gruppo, cioè sarà un punto doppio di una quadi'ica specializzata del fascio. In 

 fatti se si proietta la quartica da un suo punto doppio, siccome ogni 8\ uscente da 

 questo la taglia, per definizione, soltanto in altri due punti, così è chiaro che il cono 

 che la proietta sarà quadrico (mentre quello che la proietta da un suo punto qua- 

 lunque è di 3° ordine), cosicché quel punto è veramente punto doppio di questa 

 quadrica specializzata. 



Kicordando i risultati trovati (V. n" 37) sugli spazi lineari contenuti in una 

 quadrica specializzata avremo : 



