58 STUDIO SULLE QUADEICHE ECC. 



spetto a quella quadiica; ma se l'^',,, sta su una delle quaclriche del fascio, r'S'^„_, 

 d'intersezione sarà lo stesso per tutte le altre quadriche, appartenendo esso alla quar- 

 tica comune, e quindi VS'„_, , polare del punto rispetto a quello, apparterrà al 

 S'„_i polare del punto rispetto alla quartica. Adunque si consideri la quadrica del 

 fascio passante pel dato punto, e nella sua intersezione col suo piano tangente in 

 questo e con un'altra quadrica qualunque del fascio si prendano i vari <S'^^_, ap- 

 partenenti per conseguenza alla quartica e posti su S',^ passanti per quel punto: gli 

 'S'm— 3 polari del punto stesso rispetto a questi avranno per luogo r'S''„_3 polare del 

 punto rispetto alla quartica. 



60. Gli spazi quadratici di punti contenuti in una quartica data possono anche 

 specializzarsi acquistando uno od infiniti punti doppi. Consideriamo quella generazione 

 che corrisponde ad una quadrica cp h volte specializzata del fascio, provenendo dagli 

 spazi lineari S'„ contenuti in questa quadrica e passanti pel suo S',^_, doppio (sicché 

 m^ h, ma < "+^'-^ ) . Uno di questi spazi S\^ avrà con un'altra quadrica data 

 del fascio (e quindi colla quartica) un contatto d'ordine A-, cioè la taglierà in un 

 S^„_, h volte specializzato, se saranno soddisfatte certe condizioni determinate, tra 



cui quelle indipendenti sono — h {h-\-l) (V. n" 17). Dunque, ricordando il numero 



di 



degli 8'^ contenuti in 9, conchiudiamo (n" 37): 



Tra gli 00^ *->„,-. della quartica corrispondenti ad una ge~ 



nerastone li volte specializzata ve ne sono 00 ^ che sono k 



volte specializzati. 



In particolare, per le uguale ad m — 1 ad m, sappiamo che un 'S'^„,_, m — 1 

 volte specializzato si scinde in due <S''„,_, (V. n" 21) , e che un 'S'^„_, m volte 

 specializzato si riduce ad un i?'„,_, contato due volte. In questo modo si po- 

 trebbe ottenere il numero degli S\^ contenuti in una data quartica. Ma esso si 

 può anche avere direttamente ricordando che uno spazio lineare di punti S'^ di- 

 pende da (»«+ 1) (m — m — 1) quantità indipendenti, e che d'altra parte le condizioni 

 affinchè esso stia su una data quadrica, che ad esempio supporremo generale , sono 



- ()H + 1) [m-\-2), e perchè stia su due date quadriche {ni-\-l) (wi + 2) , laonde il 



ò 



numero degli /S',,, contenuti in queste, e quindi nella loro quartica d'intersezione sarà 



j^{ni+il («— m— i} — ,in+i)(m+2) Qggjg^ ^m-ì-i) {n—i.m—ì) 



Dunque : 



Una quartica qualunque contiene nel caso f/e«era?e oot^+'i >"~^"'~''5",„ _ 



61. Questi spazi lineari contenuti in una quarticd, si possono anche costrurre 

 effettivamente in modo analogo a quello tenuto (V. n" 30) per gli spazi lineari con- 

 tenuti in una quadrica. Sia dato un punto x della quartica: se ne costruisca VS'„_^ 

 tangente a questa e sul *S'^„_5 in cui esso taglierà la quartica stessa (il quale ^''„_5 



