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sarà un cono di ccrtice x e di 4° online) si prenda ad arbitrio un punto x' : VS', 

 che lo congiunge ad x starà sulla quartica data. Indi si consideri VS'„_3 tangente 

 in x' alla quartica: esso taglierà VS\,_- suddetto in un S\,_. {cono di 4° ordine 

 avente per asse \'S\ xx') di cui uu punto qualunque x" si congiungerà ad xx' con 

 xm S\ contenuto tutto in esso, e quindi sulla quartica data. Similmente VS'„_3 tan- 

 gente a questa in x" taglierà quel S\,_. in un S^„_^ , di cui ogni punto si con- 

 giungerà ad X x' x" mediante un S\ contenuto nella quartica data. E così via di- 

 cendo. Come si vede, questa costruzione dà un /?',„ mediante un 5'*„_3_^„, in cui 



esso è contenuto, e quindi serve finche wSn— 3 — 2)« cioè m <: "~'^ p^-a^ j 



~ 3 



punti X della quai-tica ve ne possono tuttavia essere di quelli eccezionali i quali 



stiano in spazi lineari S'^ della quartica pei quali m superi anche quel limite. 



§ 3. 



Cìassifìcasione dei fasci di quadriche e delle quartiche mediante i divisori elementari. 

 Teorema di Weierstrass e sua inter;pretazione geometrica. 



62. Abbiamo già notato nei §§ precedenti come tra le quadriche del fascio 

 determinato da due date 



<f^la,^XiX^=0 



f^lc^x^x^^O , 



ve ne siano di quelle specializzate un certo numero di volte, cioè aventi dei punti 

 doppi. Se la quadrica ). s + ,u f del fascio è specializzata , dovrà esser nullo il suo 

 discriminante : 



(1) |À«,* + ,"-c,-,. 1 = 0. 



Ora questa è un'equazione di grado n, la quale determinerà nel caso più generale n 

 valori per X : /l;. , ai quali corrisponderanno n quadriche semplicemente specializzate del 

 fascio. Ciascuna di queste avrà un punto doppio x, il quale sarà determinato da w— 1 

 delle n equazioni lineari: 



(2) )..o,-(^)+p-/;(^) = o , 



in cui per ). ra si ponga il corrispondente tra i suddetti n valori. 



63. Però può presentarsi il caso particolare che una di quelle quadriche sem- 

 plicemente specializzate corrisponda ad una radice multipla dell'equazione (1), e più. 

 in generale può accadere che ad una radice multipla X' : rj.' di quest'equazione corri- 

 sponda una quadrica del fascio specializzata più d' una volta , p. e. Ji volte. In tal 

 caso quel valore di ). : u annullerà non solo il discriminante ' ). a^,. + pi C;^ | , ma anche 

 i suoi subdeterminanti d'ordine n — h-\-l. E siccome i subdeterminanti di un ordine 



