60 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



qualunque hanno evidentemente le loro prime derivate rispetto a l-.p. espresse linear- 

 mente mediante i subdeterminanti d'ordine immediatamente inferiore, cosi quella radice 

 X' : u.' comune ai subdeterminanti d'ordine n — ]i-\-l apparterrà pure secondo gradi di 

 multiplicità crescenti ai subdeterminanti d'ordine superiore. Indicando dunque con 



1, l', l", . . . , ?'''"'' gl'indici di multiplicità secondo cui entra il divisore lineare \ 



p. p. 



rispettivamente nel determinante \ X a,j + p-c,j. |, in tutti i suoi subdeterminanti d'ordine 

 n — 1 , in tutti quelli d'ordine n — 2,. . . , in tutti quelli d'ordine n — h+1; e suppo- 

 nendo che quel divisore lineare non entri più in tutti i subdeterminanti d'ordine n — h, 

 cosicché la quadrica Vf+jj.'f del fascio sia specializzata appunto h volte, e non 

 h+1 , sarà : 



i>i'>i" >;(''-'>o, 



cosicché le differenze 



e = l-l' , e=l'-l", , e<*-' = ;(*-' 



saranno positive; si può anzi dimostrare che esse sono in questa serie ordinate secondo 



la loro grandezza, cosicché e''*' ^ e '*''"■' . 



l 1' 

 La potenza l esima del divisore lineare , , la quale è contenuta nel discri- 



p- y- 



minante | )• «ìa+P-c,/; j si può quindi rappresentare con 





(-/—,) 



,1 ^>.e('' 



e perciò queste singole potenze | , ) furono chiamate dal Weierstk.\ss clivi- 



sori elementari ( Elementartheiler ) del discriminante stesso (*). Ve ne sono diversi 

 gruppi corrispondentemente alle diverse radici distinte di questo. 



Ad ogni quadrica specializzata del fascio X © + /j. /' corrisponde adunque un gruppo 

 di divisori elementari ed il numero h di questi coincide col numero delle volte che la 

 quadrica stessa è specializzata. Il gruppo dei numeri interi positivi decrescenti, e e' e\ 

 . . ., e'''~'^, rappresentanti i gradi dei divisori elementari di quel gruppo lo chiameremo 

 per brevità gruppo àe^'indici caratteristici, o semplicemente gruppo caratteristico, 

 corrispondente a quella radice del disci'iminante, ossia a quella quadrica specializzata 

 del fascio. La somma degl'indici caratteristici di un gruppo darà l'ordine di multiplicità 

 della corrispondente radice pel discriminante, e la somma degl'indici stessi a partire 

 dal k esimo darà l'ordine di multiplicità a cui questa radice entra nei subdetermi- 

 nanti d'ordine ii — A; + 1 di questo. 



L'insieme poi degli r gruppi caratteristici corrispondenti alle r radici distinte 

 (r ^ n) X, : p., , ).^ : u.^ , . . . , X,. : u.^ del discriminante , cioè alle r quadricbe specia- 



(*) V. Weierstbass « Zur Theorie der bilinearen und quadralischen Formsn » (Monatsberichte 

 der kònigl. preussischen Akademie der Wisseaschafteri zu Bei'lia, 18 Mai 1868). 



