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lizzate, si dii'à la carafteristica del fascio di quadriche , oppiu-e della loro quartica 

 d'intei-sezione, e la indicheremo colla seguente notazione introdotta dal Weiler : 



La somma di tutti gl'indici compresi nella caratteristica dovrà uguagliare n. 



64. Ciò premesso, si ha il seguente importantissimo teorema di Weierstrass : 



^^ La condizione necessaria e sufficiente affinchè le due forme quadratiche cp, f 

 di n vai-iabili si possano rispettivamente trasformare in altre due forme quadratiche 

 y', /■' pure di v. variabili mediante una sostituzione lineare il cui determinante non 

 sia nullo è che i determinanti delle due forme quadratiche l(p-\-tj.f e lf'+ fxf 

 (dove X e u. sono indeterminate) abbiano gli stessi divisori elementari (*) ». 



Questo teorema, dato dal Weierstrass sotto questa forma analitica , esaurisce 

 completamente, dal punto di vista dell'algebra moderna, ogni questione che si possa 

 fare sui vari casi che può presentare il sistema di due forme quadratiche e sugli 

 invarianti di questo sistema corrispondenti ai casi stessi, dando una classificazione, 

 completa da quel punto di vista , di questi sistemi di forme. Vediamo di tradurlo 

 geometricamente. 



Per questo notiamo anzitutto che, ritenendo le n variabili omogenee che entrano 

 in o ed /', e quelle che entrano in o' ed f' come coordinate omogenee di punti in 

 due spazii lineari ad n — 1 dimensioni (i quali spazii possono anche coincidere), le 

 forme quadi'atiche (p , f e 9', /' rappresentano due coppie di quadriche poste rispet- 

 tivamente in quei due spazi. La sostituzione lineare (di modulo non nullo) di cui si 

 parla nel teorema si traduce in una trasformazione proiettiva (non specializzata) dei 

 due spazi l'uno nell'altro, e questo teorema ci dà la condizione perchè vi sia una tale 

 proiettività tra i due spazi che in essa si corrispondano le quadriche o e (p'. f ed f. 

 Quella condizione si può decomporre in due parti distinte : essa ci dice anzitutto che 

 i due fasci o/" e o' f di quadriche debbono avere la stessa caratteristica, e poi che 

 i gruppi caratteristici che entrano in questi devono corrispondere agli stessi valori 

 per la radice l-.u. sia nell'uno sia nell'altro fascio (È chiaro però che, potendosi 

 moltiplicare ad arbitrio una qualunque delle forme quadratiche considerate per un fattore 

 costante arbitrario senza che esse cessino di rappresentare le stesse quadiiche, non occorre 

 precisamente che i valori delle radici \ : p.^ corrispondenti ai due discriminanti di X o + ^ 

 e di "/.o -\-u.f' siano uguali, ma solo che siano proporzionali). Le quadriche dei due 

 fasci \tp -\-p.f e }.o'-\-ij.f' corrispondenti allo stesso valore di l-.p. si corrispondono 

 proiettivamente, come formanti due forme di 1' specie, e in questa corrispondenza © 

 corrisponde a o', ed /" a /''. La condizione che le due quadriche specializzate dei due 

 fasci corrispondenti ad uno stesso gruppo caratteristico corrispondano allo stesso valore 

 di Aitj. (radice del discriminante) significa dunque che queste quadriche specializzate 



(*) 11 Weierstrass , dando questo teorema nella memoria citata , esclude il caso in cui tutte le 

 forme quadratiche j.o-ì- ij.f, qualunque sia >-:/i, abbiano discriminante nullo. Quindi nelle applica- 

 zioni che noi faremo dì quel teorema al fascio di quadriche sarà escluso il caso in cui questo sia tutto 

 composto di quadriche specializzate. Ci riserviamo di ritornare altrove su questo caso. 



