62 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



si corrispondano in quella corrispondenza proiettiva tra i due fasci. Due fasci di qua- 

 driche (o le due quartiche corrispondenti) aventi la stessa caratteristica si dii-anno delia 

 stessa specie. Ciò posto, il teorema di Weierstrass si traduce nel seguente teorema 

 fondamentale per la geometria delle quartiche e fasci di quadriche: 



La eondizione necessaria e sufficiente affinchè si possano trasformare proiet- 

 tivameìite l'imo nell'altro due spasi lineari ad, n — 1 dimensioni in guisa che due 

 date quadriche cp , f delVtmo si trasformino rispettivamente in due date quadriche 

 'o' , f dell' aìiro è che le loro quartiche d' intersezione siano della stessa specie ed 

 inoltre che i due fasci (ff e <d' f da esse determinati, considerati quali forme di 

 prima specie, si passarlo far corrispondere proiettivamente sì che si corrispondano: 

 a e a', f e /"', ed inoltre quelle quadriche specializzate dei due fasci, le quali cor- 

 rispondono allo stesso gruppo caratteristico nella caratteristica comune ai due fasci. 



E siccome le particolarità proiettive a cui può dar luogo una figura qualunque 

 di uno spazio lineare (considerata in questo) sono appunto quelle, e solo quelle, che 

 si conservano passando alla figura corrispondente di uno spazio lineare proiettivo a 

 quello, così possiamo conchiudere che il sistema di due quadriche dà luogo, dal punto 

 di vista proiettivo, a queste sole particolarità : l°la specie della quartica in cui quelle 

 si tagliano, specie che è determinata dalla caratteristica, 2" gì' invarianti assoluti del 

 sistema, i quali sono i rapporti anarmonici che colle due quadriche date formano le 

 diverse quadriche specializzate del loro fascio. 



Dicendo r il numero di queste quadriche specializzate (cioè il numero dei gruppi 

 d'indici che entrano nella caratteristica corrispondente alla specie considerata), questi 

 rapporti anarmonici saranno evidentemente determinati da r — 1 di essi e quindi r — 1 

 saranno gl'invarianti assoluti indipendenti del sistema delle due quadriche. 



65. Quando poi si vogliano solo le condizioni perchè la quartica d'intersezione 

 di ffi e /" si possa trasformare in quella di q e /'', cioè il fascio tof nel fascio ffl'/'j 

 ma senza che occorra che © si trasformi precisamente in tf' ed f in /"', allora dovranno 

 coincidere nei divisori elementari i determinanti delle forme \o-\-p.f e \{g-J+hf') 

 + [j.{g,f'-\-h,f'), essendo g, h, g^, h, costanti qualunque. Quindi le due quartiche 

 dovranno avere la stessa caratteristica, ed inoltre, corrispondentemente ai gruppi carat- 

 teristici che entrano in questa, esser contenute in quadriche specializzate corrisjjondenti 

 a radici dei discriminanti di Af + [j.f e Xf'+^.'f, le quali si corrispondano me- 

 diante le formule: 



P À — 9'^+ g.!J- , p ,"-' = hl-jr h, u , 



che formano una trasformazione lineare binaria. Questo prova che gì' invarianti assoluti • 

 della quartica d'intersezione di due quadriche (p, /'sono precisamente gl'invarianti assoluti 

 della forma binaria in \, jx che costituisce il determinante della forma y.w+p.f, sicché: 

 gl'invarianti assoluti di una quartica di data specie sono griuvarianti assoluti o rapporti 

 anarmonici del gruppo delle quadriche specializzate passanti per essa, sicché se queste 

 quadi'iche specializzate sono r, saranno r — 3 gl'invarianti assoluti indipendenti della 

 quartica. 



