DI CORRADO SEGRE 63 



66. Finalmente, può presentarsi il caso intermedio (come ci accadrà appunto in 

 seguito) in cui si vogliano le condizioni perchè si possa trasformare proiettivamente 

 una data quadrica 9 ed una quartica of giacente su essa in una quadrica (f' con una 

 sua quartica o' f , senza che si richieda che /' si trasformi precisamente in /"'. Allora 

 siccome nella sostituzione lineare binaria considerata al n" precedente si richiederà che 

 sia 7(=0, così è cliiaro che gl'invarianti assoluti di una quartica di data specie su 

 una quadrica data saranno i rapporti anarmonici (tra cui r — 2 indipendenti) delle r 

 quadriche specializzate passanti per la quartica colla quadrica data. 



67. Quanto ai rapporti anarmonici delle quadriche di un fascio, essi si possono 

 sempre avere, non solo analiticamente dai valori di X : jU che corrispondono a quelle 

 quadriche, ma anche geometricamente mediante il teorema già dimostrato : « Il fascio 

 dei piani polari di un punto qualunque dello spazio rispetto alle quadriche di un fascio 

 corrisponde proiettivamente a queste » (V. n° 51). Quindi la proprietà importante, notata 

 allora, degli S'„_.^ polari dei punti dello spazio rispetto alla quartica, di proiettare gli 

 r grappi di punti doppi delle r quadriche specializzate del fascio mediante r piani, 

 i cui mutui rapporti anarmonici sono costanti, riceve ora la sua spiegazione completa 

 nel fatto che questi rapporti anarmonici non sono altro che gl'invarianti assoluti della 

 quartica che si considera. 



68. La classificazione delle quartiche (sia che si considerino da se, sia che si 

 considerino insieme con una due delle quadriche passanti per esse) è così ridotta 

 dalla nostra interpretazione del teorema di Weierstrass al riconoscere in che cosa si 

 distinguano tra loro le varie specie di quartiche, quali noi le abbiamo definite, cioè 

 quale sia il significato geometrico della caratteristica di una specie data di quartiche. 

 Di questo appiinto ci occuperemo ora. 



Consideriamo un punto doppio di una quadrica specializzata qualunque del fascio : 

 il suo piano polare rispetto ad un'altra qualunque quadrica di questo si potrà pure 

 considerare come polare rispetto a quella (poiché il piano polare rispetto ad una quadrica 

 specializzata di un sno punto doppio è affatto indeterminato) e quindi sarà piano polare 

 del punto stesso rispetto a tutte le quadriche del fascio. Ciò è pure provato dal fatto 

 che, se diciamo x un punto doppio qualunque della quadrica specializzata /^ 2> + p.^ f, 

 si ha: 



).,?a^)+/^-./;-G^)=o ' {i = i,...n) 



le quali n equazioni esprimono pure che il piano polare di x rispetto alla quadrica X cs + ju. /' 

 qualunque del fascio non dipende da ). : p., poiché le sue coordinate X -p,- (a;) + p. /] (a;) 

 sono tutte, in virtù di quelle equazioni, divisibili per kp^ — p.\, ed i loro quozienti, 

 indipendenti da X, p., si possono assumere come coordinate del piano stesso. Viceversa 

 se si cercano quei punti x dello spazio, ciascuno dei quali ha lo stesso piano polare 

 rispetto a tutte le quadriche del fascio, è chiaro che per questo basterà che siano pro- 

 porzionali le coordinate s^ {x) , /|- (x) dei piani polari rispetto a due quadriche distinte, 

 e , f del fascio, cioè che vi sia un tal valore per ). : p. che : 



).',,{x)+iJ.f,ix) = . 



