64 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



Ora queste n equazioni lineari omogenee nelle x permettono di eliminare queste im- 

 mediatamente, e cosi si ottiene l'equazione: 



1 >. «,* + P- e,,, 1=0. 



Ogni radice distinta di questa, sostituita in quelle equazioni lineari, darà im punto x 

 od infiniti formanti un sistema lineare; e, come si vede, questi punti saranno preci- 

 samente i punti doppi di quella quadrica specializzata del fascio, la quale corrisponde 

 a quella radice. Quindi il problema di cercare le quadriche specializzate di un fascio, 

 e quello di cercare quei punti dello spazio che hanno lo stesso piano polare rispetto 

 a due date quadriche od a tutte le quadriche del loro fascio si equivalgono, cioè : 



Ogni punto doppio di una quadrica specializzata del fascio ha uno stesso piano 

 polare rispetto a tutte le quadriche di questo, e viceversa ogni punto avente lo stesso 

 piano polare rispetto a queste è punto doppio di tina di esse. 



S9. Considerando un'altra quadrica specializzata del fascio, siccome ii piano polare 

 di un punto qualunque dello spazio rispetto ad essa passa pel sistema dei suoi punti 

 doppi, così passerà per questo sistema il piano polare di un punto doppio della prima 

 quadrica specializzata rispetto a tutto il fascio. In altri termini, due punti doppi appar- 

 tenenti a quadriche specializzate distinte del fascio sono coniugati rispetto a tutto il 

 fascio. Ciò si vede pure immediatamente dalle equazioni, che caratterizzano due tali 

 pimti X, x' : 



\ ^, (x) + y., /;. (x) = Q 



dalle quali si trae : 



\ (0 {x, x) + ,u., f (x, x) — 

 Itf {x , x')+!J.i f{x , x') = 



donde finalmente, supponendo ).^ : p.^ e )., : [J.t distinti tra loro : 



X 'f {x, X ) + [j. f{x, x) = , 



qualunque sia ). : u. ; e quest'equazione prova appunto che x. x sono punti coniugati 

 rispetto a tutte le quadriche del fascio. 



Di qui segue un raggruppameuto notevole dei punti doppi delle quadriche specia- 

 lizzate del fascio. Diciamo s^, , li^, . . . , di^ queste quadriche, A., , h^, . . . , h,. il numero 

 delle volte che sono risp. specializzate, sicché i loro spazi lineari doppi siano S\_,, 

 S\ _, , . . . , S\ _,. Alloi'a i punti di uno di questi, p. e. del S'/, _, , hanno ciascuno uno 

 stesso piano polare rispetto a tutte le quadriche del fascio, e tutti questi piani polari 

 dei punti del S'/,_, formano un 2'/, _, di piani, la cui intersezione S'„_^ _, costituisce 

 lo spazio polare del S',, _, rispetto a tutte le quadriche del fascio. Orbene questo S'„_^ _, 

 conterrà tutti gli spazi doppi delle altre quadriche specializzate del fascio, cioè i suddetti 

 S'i, _,,... ., S',, _, . Similmente lo spazio polare comune S'„_i,^_, del S\_^ rispetto 

 a tutte le quadriche del fascio contiene gli S'/, _, , S',, _, , . . . , S',^ _, , e via dicendo. 



70. In particolare, se supponiamo di essere nel caso più generale in cui le n 

 radici ).: p. dell'equazione | Xa^^ +p. Cjj. | = sono tutte distinte, e quindi per la 



