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quartica data passano n quadiùche semplicemente specializzate, i punti doppi di queste 

 sai-anno i soli punti aventi lo stesso piano polare rispetto a tutte le quadriclie del 

 fascio, e questo piano polare per ciascuno di quegli n punti sarà il piano che con- 

 giunge gli altri w— 1, cosicché essi costituiranno una «. upla polai'e (V. n" 24) 

 comiiue a tutte quelle quadriche. In questo caso, più generale, la caratteristica è 



[1 1 1 ... 1 1], 



e se si riferiscono tutte le quadriche del fascio a quella n upla polare comune come 

 sistema di riferimento, le loro equazioni saranno della forma (V. n° 26): 



ed in particolare le equazioni delle due quadriche 's , /' saranno rispettivamente : 



iij.,x;=o , i\x;^() . 



Si vede dunque come il problema della riduzione simultanea di due quadriche ad 

 equazioni di questo tipo coincida con quello che stiamo studiando. 



71. Più generalmente supponiamo soltanto che tutti gl'indici caratteristici siano 

 uguali ad I (e quindi in numero di n), ma raggruppati comunque, cioè si abbia la 

 caratteristica ; 



[(11. .1) (1..1) .... (1..1) (1..1)], 



dove siano h, , h^, . . . , /(,._, , /;,. i numeri d'indici compresi rispettivamente negli r gruppi 



cai'atteristici. Allora se consideriamo il gruppo (11..1) composto di A, indici, esso 

 corrisponderà ad una quadrica A, volte specializzata del fascio, anzi al caso più generale 

 di una tal quadrica, poiché ad una quadi'ica /*,• volte specializzata vedemmo dover 

 coriTspondere una radice /<,- upla (almeno) di | Xa^^^+zv. Ci^j , la quale entri pure nei 

 subdeterminanti d'ordine n — Ji^ + l , e quindi se, come accade nel caso più generale, 

 quella radice entra solo al grado 7f, in quel discriminante, darà necessariamente il 



gi'uppo caratteristico (11..1); e solo ove vi entrasse un maggior numero di volte 

 darebbe un altro gruppo caratteristico. Dunque, il caso più generale in cui vi siano 

 quadriche specializzate é, , (i, , . . . , d/^ aventi risp. un S\ _, . S\ _, , . . . , S\ , 

 doppio è appunto (nel senso detto) quello corrispondente a questa caratteristica. In 

 questo caso lo spazio polare di uno qualunque di quelli rispetto a tutto il fascio di 

 quadriche è perfettamente determinato dal dover passare per gli altri. 



72. Già dimostrammo (V. n° 57) che ogni (S"/,._, doppio di una quadrica del 

 fascio ha comuni con un'altra quadi'ica qualunque di questo dei punti che sono doppi 

 per la quartica che si considera, e che anzi tutti i punti doppi della quartica si hanno 

 in questo modo. Ora in generale quei punti comuni costituiscono un S\._^ e questo 

 spazio quadratico giacerà adunque sulla quartica, e vi figurerà come doppio. La quartica 

 avrà dunque r sistemi di punti doppi (di cui però possono scompaiire quelli che cor- 

 rispondono a quadriche semplicemente specializzate del fascio, per le quali ^^ = 1), 



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