^6 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



cioè /S'a _i , S*/, _i ,. . ■ , aS"/, _i (esclusi i casi, sui quali ritorneremo, in cui tutto VS\_, 

 considerato è composto di punti doppi della quartica) tali che due punti doppi appar- 

 tenenti a due sistemi diversi saranno coniugati rispetto a tutte le quadriche del fascio, 

 cioè saranno congiunti da un S\ tutto contenuto nella quartica. Ma col variare della 

 caratteristica variano il numero e la disposizione di questi sistemi di punti doppi della 

 quartica, e questo costituisce appunto la diversità nella specie della quartica. 



Così nel caso dianzi considerato in cui la caratteristica contiene solo gì' indici 

 caratteristici 1, quei sistemi di punti doppi della quartica S\_^, S\^._^, . . .,S\^_^ 

 non soddisfano ad altre condizioni che quelle dette, e queste caratterizzano perfettamente 

 in tal caso la specie della quartica per ogni sistema di valori dati pei numeri h, , 

 h^, . . . , /v ^^ '^'■^^ somma in questo caso deve uguagliare w). 



73. Più. difficile è riconoscere quali singolarità della quartica corrispondano in 

 altri casi ad una data caratteristica. Daremo però alcune regole generali che possono 

 poi servire in ogni caso speciale a risolvere completamente la questione. Ed anzitutto 

 notiamo che quando si è già riconosciuto il significato di due gruppi caratteristici 

 (e,, e,', e,", . . ., e,"'-'^), e (e,, e,', e,", . . . , e^''^—' ) , si avrà pure il significato 

 del gruppo proveniente dal sommare gì' indici corrispondenti di quei due, cioè : 



(e,+ e, , e,'+ e,' , e,"+e/', ) , 



poiché questo corrisponderà ad una quadrica specializzata del fascio, la quale provenga 

 dal coincidere le due quadriche specializzate corrispondenti ai due gruppi primitivi, come 

 si vede immediatamente supponendo che i due valori di \ : p. corrispondenti a questi 

 divengano infinitamente vicini, e considerando i gradi di multiplicità in cui così ten- 

 deranno a comparire come radici del discriminante e dei suoi subdeterminanti. Se 

 supponiamo 7*,^ h^, la nuova quadrica che si otterrà sarà ancora li, volte specializzata: 

 il suo S'^ _, doppio proverrà dall'esser venuto 1' S\ _, doppio dell'una quadidca a stare 

 sul S\_, doppio dell'altra. Ma notiamo che gli ultimi due spazi S\_, e <?'/,_, sono, 

 come vedemmo, coniugati rispetto a tutte le quadriche del fascio. Quindi, venendo 

 l'uno di essi a stare sull'altro, questo diverrà (se ancora non era tale) tangente di 

 determinata specie a tutte le quadriche (V. n" 34). Otteniamo così questo importante 

 risultato : 



Se in un gnippo caratteristico (e, e , e", . . . , e'*~'') composto di li indici, gli 

 ultimi h soltanto sono uguali ad 1, V S' i^_^ doppio della quadrica specializzata cor- 

 rispondente del fascio sarà tangente di specie li — la a tutte le quadriche del fascio, 

 cioè le taglierà in un S''^_^ [composto di punti doppi della quartica) specialissato 

 li — le volte. 



Il caso piii semplice in cui ciò accada è quando : 



e = e'=:e"= ..., ef*-*-' = 2 ; e '*-*' = «'''-*+"= . . . =e(*-"=l . 



Ma lo stesso accadrà ancora quando tra i primi li — k indici caratteristici alcuni, od 

 anche tutti, superino il valore 2. 



