DI COKRADO SEUEE , 67 



74. In pai'ticolare, ricordando come accada il degenerare di una quadrica S^,^_^ 

 col suo specializzarsi, avremo come casi particolari dal u" precedente che : Se il numero 

 h degl'indici caratteristici uguali ad 1 di un gruppo caratteristico si riduce a due soli, 

 allora il sistema S^i,_^ corrispondente di punti doppi della quartica si scinde in due 

 S\_^\ se vi è un sol indice uguale ad 1, allora r'S"/,_, doppio della corrispondente 

 quadi'ica specializzata del fascio tocca tutte le quadriche di questo lungo un S \_^ , 

 al quale, contato due volte, si riduce il sistema corrispondente di punti doppi della 

 quartica. Finalmente quando nel gruppo caratteristico considerato non vi è alcun indice 

 uguale ad 1, tutto quel S\_^ sarà contenuto nelle quadriche del fascio, e si comporrà 

 completamente di punti doppi della quartica. In questo caso adunque non è solo uno 

 spazio ad /; — 2 dimensioni del S'/, _, che si componga di punti doppi della quartica ; 

 bensì tutto 1' »S"j_, . 



Ponendo ancora in quest'ultimo caso, oltre a Z; = , /« ^ 1 , noi vediamo che 

 un gruppo caratteristico composto di un indice solo e rappresenta una quadrica sem- 

 plicemente specializzata del fascio, il cui punto doppio unico quando quell'indice e supera 

 1 (e solo allora) sta sulle quadriche del fascio (le quali hanno comune in esso il piano 

 tangente) ed è punto doppio della quartica. Questo del resto si dimostra pure facil- 

 mente in modo diretto. 



75. Abbiamo già visto (V. n" 47) come lo spazio lineare S'^_, rappresentato 

 dàlie equazioni 



a; ,= 2 >.''"' a;,."-' (r=l , . . . , m) (i=l, ... , n) , 



r 



tagli il fascio di quadriche 



nel fascio di *S^„,_i avente per discriminante 



I ).p(:c<'-'a;M)+/7./'(xM^^^') | . 



Imaginando scritto un suhdeterminante qualunque di dato ordine di questo determi- 

 nante, si vede che esso può esprimersi come somma di prodotti di tre determinanti, 

 di cui due formati colle x/''' e l'altro è un subdeterminante di quello stesso ordine 

 del discriminante del dato fascio 



Di qui segue, che ogni divisore lineare in X , [j. comune ai sub determinanti di un dato 

 ordine ^ m di quest'ultimo discriminante entra pure in generale allo stesso grado nei 

 subdeterminanti dello stesso ordine del discriminante dell'intersezione di un *S"„,_, qua- 

 lunque dello spazio col fascio di quadriche. Quindi, ricordando la definizione degl" indici 

 caratt-eiistici, segue che, se uno qualunque dei gruppi caratteristici relativi al fascio 



dato è 



{e, e', e", ..., e'*-), 



dove Jì>n — m, l'intersezione di quel fascio con un iS"„,_, qualunque dello spazio 



