68 STUDIO STILLE QUADRIGHE ECC. 



avrà, corrispondentemente al ^^„_^ d'intersezione della quadrica specializzata relativa 

 a quel gi'uppo, il gi'uppo caratteristico 



e 



("-"') g'n—m+i) _ _ _ g(/i-i)\ 



Così in particolare l'intersezione con un piano {m = n — 1) otterrà, in generale, il 

 gruppo caratteristico (e' e", . . ., e''*"'^); l'intersezione con un S'„_3 il gruppo carat- 

 teristico (e" e'", . . . , e'*~'^), e cosi via. 



Questa proposizione è importante, e completa un'altra che avevamo trovato al n° 49. 

 Essa ci permette di ridurre la ricerca che stiamo facendo del significato geometrico 

 dei gruppi caratteristici al caso in cui il numero degl'indici contenuti in un gruppo 

 vada diminuendo fino a ridursi ad un solo. Inoltre da essa scaturisce come tra le m 

 quadriche, le quali toccano in generale un >S"„_, qualunque dello spazio (n° 48), ne 

 coincidono 



e '"-""'' + e ("-'"+''+ + e'*-' , 



colla quadrica specializzata h volte del fascio già considerata, cosicché, se si prescinde 

 da queste quadriche fisse, le quadriche mobili del fascio, le quali toccano un S'^_, 

 qualunque, sono in numero di * 



m — 1 e/"--"'— 1 e;"-'«+0 _ . . . , 



od anche, ricordando che la somma di tutti gl'indici caratteristici è n: 



le,-hlej+lej'+ . . .+le,'-'-"'-'^+m-n . 



■ In particolare il numero delle quadriche mobili del fascio, le quali toccano un piano 

 dato qualunque è (poiché diventa m = « — 1) : 



76. Finalmente una nuova osservazione ci darà il modo di vedere in ogni caso 

 quale sia il significato geometrico di un gruppo caratteristico, se si terrà pur conto 

 delle osservazioni precedenti. Il punto doppio di una quadi'ica semplicemente specializzata 

 del fascio, alla quale corrisponda un indice caratteristico (isolato) ^ 2 , sta, come ve- 

 demmo, su tutte le quadriche del fascio e costituisce un punto della quartica d'inter- 

 sezione. Ma ci resta a vedere quali particolarità introduca in questo punto doppio il 

 crescere di quell'indice caratteristico; cioè qual difierenza vi sia tra i punti doppi della 

 quartica provenienti dai gruppi caratteristici 2, 3, 4, ecc. Consideriamo anzi più in 

 generale, per questo scopo, un punto doppio qualunque x della quartica, il quale ap- 

 partenga come punto doppio a quella quadrica, specializzata un numero qualsiasi di 

 volte , del fascio sf-\-f\ che corrisponde al valore s=^c del parametro indetermi- 

 nato s . Noi vedemmo che in tal caso il punto x ha uno stesso piano tangente § per 

 tutte le quadriche del fascio, e che si possono prendere per coordinate di questo piano 

 le quantità costanti 



