70 STrDIO SULLE QUADEICHE ECC. 



ha per radici i valori di s corrispondenti alle quadriche specializzate del fascio dato, 

 noi vediamo che nell'intersezione del dato fascio con § ^ si ha un fascio di S\_, 

 in cui sono specializzate appunto quelle che sono intersezioni con quadriche specializzate 

 del fascio dato, e contano tra le specializzate uno stesso numero di volte che queste; 

 esclusa solo quella quadrica specializzata del dato fascio , la quale corrisponde ad 

 s = e , poiché l'equazione trovata 



àis) 



(s-cy 



= 



mostra che se questa conta e volte (essendo e ^ 2), cioè ha per indice caratteristico 

 corrispondente e (se ora supponiamo che la quadrica specializzata considerata del dato 

 fascio sia semplicemente specializzata), la sua intersezione con | (^ avrà per indice ca- 

 ratteristico e — 2. Quindi, se si conosce il significato geometrico di una radice multipla 

 d'ordine e— 2 del discriminante, si conoscerà pure quello di una radice multipla di 

 ordine e. Ora noi conosciamo il significato di una radice semplice o doppia: dunque 

 conosceremo pure quello di una radice avente un ordine qualunque di multiplicità. 



77. Possiamo dare un'altra forma a questo risultato. A tal fine notiamo che, 

 mentre in un punto qualunque della quartica vedemmo (n° 50) esservi un /S"„_3 tan- 

 gente, cioè luogo degli S^' , che congiungono quel punto ad uno infinitamente vicino 

 della quartica stessa, invece per un punto doppio x vi è un cono quadrico S-„_^ 

 tangente, cioè luogo di questi ;S'/ (*). Infatti ogni tale S,' dovrà stare evidentemente 

 nel piano tangente comune in a; a tutte le quadriche del fascio dato, e d'altra parte, 

 siccome congiunge il punto doppio x di una certa quadrica specializzata <// del fascio 

 ad un altro punto di é, dovrà esser contenuto in questa quadrica; esso avrà dunque 

 per luogo r S^„_i (specializzato una o più volte con x per punto doppio) in cui quel 

 piano tangente comune in j; è tagliato da é, sicché questo 'S'^„_3 è appunto lo spazio 

 tangente alla quartica nel punto doppio x di questa. 



Ciò posto il risultato del n" precedente, limitandoci ancora al caso di un indice 

 caratteristico unico, si può enunciare così: 



Ad fin indice caratteristico isolato e ^ 2 corrisponde un punto doppio x della 

 quartica dotato di cono quadrico S^^_^ tangente, il quale nel fascio di coni qua- 

 drici passanti pel S''„_, {cono quartica) costituito dagli S' , uscenti da x della 

 quartica considerata corrisponde in generale all'indice caratteristico isolato e — 2. 



Quindi, quel cono quadrico tangente in x è di 1* specie se e=:2, ma ha un S', 

 doppio, cioè è cono di 2" specie, quando e ^3, e quel S', doppio viene a stare 

 su quel S''„_^ , cioè sulla quartica considerata , quando e ^ 4 , ed è in tal caso 

 doppio per quel S'>„_,^ con un cono di 2* specie «^^^^ tangente, contenuto nel /S"„_3 . 

 Per e^ 5 questo S\_^ tangente nel Sj doppio dal S''„_^ diventa cono di 3' specie, 

 cioè acquista un S^ doppio passante per questo <?;', e per e ^ 6 quel S' viene 

 a stare sul S''„ , • E così via dicendo. 



(*) In generale, qualunque siano l'ordine ed il numero delle dimensioni di uno spazio algebrico 

 di punti, sempre in un sud punto doppio lo spazio tangente, invece ohe lineare, è quadrico; la pro- 

 posizione si estende anzi a punti multipli qualunque (V. Veronese, loc. cit., pag. 167). 



