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DI COKKADO SEGRE ' '■ 



Così noi abbiamo precisamente quello die cercavamo, cioè in cbe cosa si distin- 

 guano tra loro i punti doppi della quai-tica provenienti dagl'indici caratteristici isolati 

 2, 3, 4, 5, G, (•). 



78. Si potrebbe usai-e un metodo analogo per studiare i casi di gruppi carat- 

 teristici composti di più indici, ila qui per brevità ci limiteremo a considerare solo 

 più il caso, in cui il precedente è incluso, nel quale si abbia il gruppo caratteristico 



h 



essendo e > 2, e quindi (n° 73) una quadrica ^ del fascio h volte specializzata, avente 

 V S\_, doppio tangente di 1° specie in un certo punto x ed in un piano ^ ad ogni 

 quadrica del fascio. Allora, applicando il risultato del n" 76, se si considera su ^ un 

 jS'„_3 qualunque |^, esso taglierà quel fascio in un fascio di S\„_,^, in cui l'inter- 

 sezione con li (quadrica corrispondente ad una radice (e+A— 1) upla del discrimi- 

 nante del fascio) corrisponde ad una radice {e-\-h — 3) upla del relativo discriminante. 

 Se questa intersezione con 6 fosse, come nel caso di e = 2, specializzata soltanto 7* — 1 

 volte, avendo l'intersezione di |C col S\_, doppio di (|/ per S',^_^ doppio, allora 

 questo dovi-ebbe necessariamente (n° 73) esser tangente a tutto quel fascio di /S'^„_^ , 

 e ciò qualunque sia C, e quindi V S\_^ doppio di tp sarebbe tangente di specie su- 

 periore alla 1" al fascio dato di quadriche, il che non è. Ne segue che la intersezione 

 di I3 con o è specializzata h volte (cioè che q è piano tangente propriamente detto 

 di ò ) , donde segue che in generale la sua caratteristica sarà : 



h 

 (e-2.1 ... ì) 



79. Per ultimo avvertiamo, ricordando come degenerino le quadriche n — 2 od 

 n — 1 volte specializzate (V. n° 21), che, allorquando un gruppo caratteristico contiene 

 n—2 indici, allora, e solo allora, la quartica -S'^„_3 si scinderà in due S ^„_3 giacenti 

 nei piani in cui si è scissa la corrispondente quadrica specializzata del fascio ; e che, 

 allorquando un gruppo caratteristico contiene n — 1 indici, allora, e solo allora, la 

 quartica si riduce ad un S";^^ doppio giacente nel piano doppio a cui si riduce la 

 corrispondente quadrica specializzata del fascio e nei punti di quel /S'^„_3 si tocche- 

 ranno tutte le altre quadriche di questo. Non può esservi un gruppo caratteristico di 

 n indici (i quali avendo per somma n dovrebbero allora esser tutti uguali ad 1 ) , 

 poiché, se vi fosse, dovrebbe esservi un valore ài 1 : [j. tale che 



cioè tutte le quadriche del fascio dovrebbero coincidere. 



(*) Questo risaltato ci dà alcuni esempi delle specie di punti doppi che si incontreranno quando 

 si farà uno studio delh singolarità che può presentare uno spazio algebrico qualunque contenuto in 

 uno spazio lineare ad un numero qualunque di dimensioni. Una prima distinzione dei punti doppi 

 in specie (corrispondente alla distinzione dei punti doppi delle superficie dello spazio ordinario in 

 punti conici, biplanari ed uniplanari) sarà data appunto dal cono quadrico tangente, che potrà es- 

 sere specializzato un numero qualunque di volte. Entro ciascuna di queste specie poi vi saranno 

 delle sottospecie. 



