72 STUDIO SULLE QUADKICHE ECC. 



§ 4. 



Applicazione alla classificazione dei fasci di quadriche 

 nello spazio lineare a tre dimensioni (*). 



80. Per applicare le cose dette nel § precedente alla classificazione delle quartiche 

 intersezioni di quadriche in uno spazio lineare a 3 dimensioni terremo conto di tutte 

 le osservazioni, che ivi facemmo. Le varie specie di fasci di quadriche o le specie di 

 tali quartiche corrispondono dunque alle seguenti 13 caratteristiche: 



■1111] , 



[211], 



[31], 



[22], 



[4]; 



[(11)11] , 



[(21)1], 



[(11)2]. 



[(31)], 



[(22)]; 



[(ii)(ii)]; 











[(111)1] . 



[(211)]. 









Abbiamo anzitutto cinque specie di quartiche per cui non passano coppie di piani, 

 cioè che non si scindono in coniche. La specie [1111] è quella generale (V. n° 70) : 

 questa quartica sta su 4 coni quadrici, i cui vertici formano una quadrupla polare 

 rispetto a tutte le quadriche del fascio. La [ 2 1 1 j ha un punto doppio per la quartica 

 con due tangenti distinte (n° 77), intersezioni del piano tangente in quello al fascio 

 di quadriche col cono del fascio corrispondente all' indice caratteristico 2 ; oltre a 

 questo vi sono solo più due coni nel fascio. La quartica [31] ha un punto doppio, nel 

 quale la coppia di tangenti (il cono 'S'^„_3 tangente , che si considerava al n° 7 7 ) 

 acquista im S^' doppio, cioè coincidono, ha cioè una cuspide ; oltre al cono che ha 

 questo punto per vertice, il fascio di quadriche ne contiene solo un altro, corrispon- 

 dente all'indice caratteristico 1. La quartica [22] sta su due soli coni, i cui vertici 

 sono suoi punti doppi (ordinari); ma questi sono congiunti (V. u" 72) da una retta 

 faciente parte della quartica, sicché questa si scinde nella retta stessa ed una cubica. 

 La quartica [4] poi, caso particolare delle precedenti, contiene (V. al n° 77 il signi- 

 ficato generale dell'indice caratteristico isolato 4) la tangente nel punto cuspidale che 

 si aveva per la specie [31] e quindi si scinde in quella retta ed una cubica che la 

 tocca in quel punto. 



Poi troviamo quei fasci di quadi'iche, in cui vi è un gruppo caratteristico con- 

 tenente 2 iadici al quale quindi corrisponde una coppia di piani (V. n° 79). Il caso 

 generale [(11) 11] dà una quartica scissa in 2 coniche che si tagliano in 2 punti. 



(*) La classificazione dell'intersezione di due quadriche nello spazio ordinario fu data per la prima 

 volta in modo completo (anche tenendo conto della distinzione tra gli elementi reali e gl'imaginari) 

 dal Painvin nel 1868 {Nouvelles Annales, 2' serie, t. VII) e nello stesso tempo dal Luroth [Zeitschrift 

 furM. u. Ph. 1868), e fu data più tardi (1876) dal Gl'ndelfinger nelle sue pregevoli note alla 3" edizione 

 AeW li Analytische Geometrie des Raumes » di Hesse (V. pag. 518), dove auch'egli la deriva dalla 

 memoria di Weierstrass; con questa differenza però da quanto io qui faccio, che, mentre egli dal 

 Weierstrass prende le forme canoniche delle due forme quadratiche, e da queste forme canoniche, 

 che servirono a questo per stabilire il suo teorema, e che mutano dall'una caratteristica all'altra, egli 

 deduce le proprietà geometriche corrispondenti, io ho invece dedotto queste proprietà geometriche da 

 considerazioni generali prima fatte su quel teorema, basate non su una forma particolare d'equazione, 

 ma bensì sulla teoria geometrica delle quadriche. 



