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Corrispontlenteraente ai gruppi caratteristici 1 e 1 vi sono duo coiii propriamente detti nel 

 fascio ; i loro vertici hanno lo stesso piano polare rispetto a tutte le quadriche del fascio. 

 Ma questa proprietà spetta pure (e soltanto) ai punti della retta doppia della coppia 

 di piani die corrisponde ad (11) ed in particolare ai due punti in cui essa taglia tutte 

 le altre quadriche. Così dalla teoria generale si ottengono tutte le proprietà note di 

 questo fascio. La specie [(21) 1] corrisponde al coincidere dei due punti suddetti, cioè 

 al toccai-si delle due coniche (V. n" 73); per queste passa solo più un cono. Per 

 [(11)2] invece si ottiene nella coppia di coniche, fuori della retta d'intersezione dei 

 loro piani, un punto doppio proveniente dal 2, sicché si hanno (V. anche n" 72) una 

 conica e due rette che la tagliano e si tagliano mutuamente: il loro punto d'interse- 

 zione è vertice del cono (2) che rimane nel fascio. Se pòi supponiamo che questo cono 

 s'avvicini indefiniti vamente alla coppia di piani ahhiamo il caso [(31)], nel quale il 

 punto comune alle due rette nel caso precedente è venuto a coincidere coi due punti, 

 che questi avevano comuni colla conica. Del resto, questo significato del gruppo carat- 

 teristico (31) risulta pure direttamente dal teorema dimostrato al n° 78. Nel caso 

 [(22)] ogni punto della retta doppia della coppia di piani è punto doppio della 

 quartica, cioè sta su tutte le quadriche del fascio ed è un loro punto di contatto 

 (V. n° 74), sicché il fascio si compone di quadriche raccordate lungo una loro gene- 

 ratrice comune e tagUantisi quindi ancora in due generatrici dell'altro sistema. 



Nel caso [(11) (11)] vi sono nel fascio due coppie di piani, e quindi la quartica 

 si compone di 4 rette, formanti un quadrilatero sghembo, le cui diagonali, rette doppie 

 di quelle coppie di piani, saranno luogo dei punti aventi lo stesso piano polare rispetto 

 a tutto il fascio di quadriche, e pei punti dell'una diagonale i piani polari faranno 

 fascio intorno alFaltra. Eitroviamo così un teorema noto. 



Finalmente, vi sono due casi in cui il fascio di quadriche contiene un piano contato 

 due volte, cioè le quadi-iche si toccano lungo una conica (V. n° 79). Il caso generale 

 è [(111) 1]: la conica non è in tal caso specializzata, e nel fascio di quadriche vi 

 è un cono conispondente al gruppo caratteristico 1. Caso particolare è [(211)]: la 

 conica si scinde (V. n" 73) in due rette, generatrici di diverso sistema, lungo le quali 

 le quadriche del fascio sono raccordate. 



Così si è visto con quanta semplicità le considerazioni generali da noi prima svi- 

 luppate si applichino al caso di w = 4 ; ed avremo più tardi occasione di applicarle 

 ai valori 5 e 6 di «. Qui vogliamo ancora notare come la formula generale data al 

 n" 75 ci dia immediatamente nelle varie specie di fasci di quadriche quante siano 

 quelle mobili che toccano un piano qualunque dello spazio. Nei fasci [1111], [211], 

 [31], [22], [4] esse sono sempre in numero di 3; nei fasci [(11)11], [(21)1], 

 [(11)2], [(31)] sono solo 2; negli altri fasci, cioè [(22)], [(11)(11)], [(111)1], 

 [(211)] vi è una sola, quadrica (mobile) che tocchi un piano dato qualunque. Quella 

 stessa formula generale citata dà il numero delle quadriche mobili che toccano una 

 retta data qualunque: esso è 2 per tutte le specie di fasci, salvo per le specie [(111)1 ], 

 [(211)], per le quali esso è 1. 



81. Se poi si domandassero gl'invarianti assoluti dei fasci di quadriche o delle 

 loro quartiche d'intersezione, noi vediamo che ve n'è uno solo nel caso generale [1111] 



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