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ed è il rapporto anarmonico dei quattro coni che allora vi sono nel fascio. XegU altri 

 casi la quartica non ha invarianti assoluti, in Tirtfi dell'interpretazione geometrica da 

 noi data del teorema di "Weierstrass, e se si prendono due quartiche della stessa specie, 

 che non sia però qiiella generale, si può sempre stabilire una proiettività tra due spazi 

 tale che in essa quelle due curve si corrispondano. Se »• < 4 è il numero di gruppi 

 caratteristici (quadriche specializzate) corrispondenti a quella specie di quartiche, si 

 potranno prendere ad arbitrio 3— >• quadriche dell' un fascio come corrispondenti a 

 3_.,- quadriche fissate ad arbitrio nell'altro, in una proiettività tra due spazi, nella 

 quale ì due fasci di quadriche si corrisponderanno, cosicché, se il numero dei gruppi 

 caratteristici di una specie di quartiche è r < 4, vi saranno almeno oo^~'' proiettività 

 tra due spazi , nelle quali due quartiche date di quella specie si corrispondano. In 

 particolare una tal quartica si trasformerà in se stessa con (almeno) oo^~'" proiettività. 

 Due quartiche [211] a punto doppio possono servire a determinare (se non indivi- 

 duare ) una proiettività tra due spazi ; una di esse si trasforma proiettivamente in 

 se stessa in un numero determinato di modi, ila ogni quartica della specie [31], 

 oppure [22] , ecc. si trasforma proiettivamente in se stessa in co' modi, ed ogni quar- 

 tica della specie [4] in oo^ modi. Xoi riconosciamo in questo modo come le cubiche 

 sghembe e le quartiche dotate di cuspidi siano della specie di quelle curve che furono 

 studiate da Klein e Lie (*) sotto il nome di curve F, mentre non sono tali le quar- 

 tiche a punto doppio, e tanto meno le quartiche generali. Benché su ogni- quartica 

 a punto doppio si possa stabiKre una corrispondenza proiettiva tra i suoi punti in 

 infiniti modi, pure questa non farà parte in generale di una comspondenza proiettiva 

 tra due spazi. Invece, con qualche riflessione sulle ultime cose dette, si vede che una 

 corrispondenza proiettiva ti'a i punti di una cubica fa sempre parte di una corrispon- 

 deiKa proiettiva tra i punti dello spazio , e che lo stesso vale per la quai-tica a 

 cuspide, purché la proiettività stabilita tra i suoi punti soddisfi a due condizioni, di 

 cui una è, che la cuspide corrisponda a se stessa. 



Come dice m mo, solo le quartiche della specie più generale [1111] hanno un inva- 

 riante assoluto, e due tali quartiche si possono trasformare proiettivamente l'una nel- 

 l'altra solo quando quell'invariante abbia lo stesso valore. Questo invariante assoluto non 

 è altro (V. n° 67) che il rapporto anarmonico costante dei 4 piani che proiettano i ver- 

 tici dei 4 coni del fascio dalla retta polare di un punto qualunque dello spazio rispetto 

 al fascio stesso. Questo rapporto anarmonico essendo costante, noi vediamo che quelle 

 polari formano un complesso tetraedrale, avente appunto quel rapporto anarmonico. 



Quando si studiassero le quartiche come poste su una data quadrica, cosicché si 

 doTesse sempre soddisfare nelle proiettività alla condizione che questa si trasformi in 

 se stessa, od iu un'altra pure assegnata, allora (Y. n" 66) agrinvarianti assoluti già 

 considerati se ne aggiungerebbe uno , cioè il rapporto anarmonico che quella quadrica 

 determina con 3 delle quadriche specializzate del fascio (ove il numero di queste qua- 

 driche sia ^3, cioè nei casi [UH], [211]. [(11)11]). 



(*) V. Klein et Lie; « Sur une certame famille de courbes et de surfaces ». Coraptes-rendiis de 

 l'Ac. des S. Ia70, l" seiu. (voi. 70, pag. 1222 e 1275). I.t questo lavoro sono appunto notate tra le 

 più semplici curve sghembe di quella famiglia le cubiche e le quartiche dotate di cuspide (V. pag. 1224). 



