l'I COKKADO SEGKE 75 



§ 5. 

 Schiere di quadrìche. 



82. Abbiamo definito il fascio di qiiadriclie considerando il punto come elemento 

 dello spazio lineare «S ad n — 1 dimensioni , e considerando per conseguenza le qua- 

 di-iche come luoghi di punti di 2° ordine. Se consideriamo invece il piano come ele- 

 mento dello spazio lineare 2 pure ad n — 1 dimensioni, dorremo considerare le quadriche 

 come inviluppi di piani di 2' classe, e la teoria svolta nei §§ precedenti sarà ancora 

 applicabile perfettamente con pochi scambi di parole, essendo i due spazi Sei per- 

 fettamente scambiabili tra loro (e in ciò sta, come già notammo, la vera causa della 

 dualità). Ennncieremo dunque senz'altro le proposizioni che c'importano. 



Date due quadriche come inviluppi di piani 



F=1C,,^ ?, = , 



l'insieme di tutte le quadriche che toccano i piani comuni a queste formano un sistema 

 semplicemente infinito rappresentato dall'equazione 



dove al rapporto / : in vanno dati tutti i valori possibili ; diremo questo sistema una 

 schiera di quadriche. I piani tangenti comuni formano un 2 \^_^ , che diremo sviliq>- 

 pabile di 4' classe, e che costituisce la base della schiera. Per ogni spazio lineare 

 di punti S'i passano dei 2^„_,_3 appartenenti alle quadriche della schiera, e questi 

 2\_,_3 nello spazio 2 n-i-2. <iei piani passanti pel S \ formano una schiera, avente per 

 sviluppabile di base il 2 \,_,_^ dei piani appartenenti alla base della schiera data. In 

 particolare per ogni 5''„_^ i piani, che vi passano, delle quadriche della schiera for- 

 mano una nuova schiera di 2,'' aventi comuni 4 piani tangenti, che sono piani della 

 sviluppabile di 4" classe, e ciò giustifica questo nome. Per ogni S'^^^ poi passano infinite 

 coppie di piani tangenti alle quadriche date , e queste coppie formano un' involuzione 

 quadratica in un fascio di piani. 



83. Ogni 2',_, , cioè ogni S'„_i_, , è toccato in generale da i quadriche della 

 schiera. In particolare ogni piano dello spazio (« =: 1 ) è toccato da una sola quadrica, 

 mentre per ogni punto [i = n — 1) ne passano n — 1. Ma ogni quadrica h volte spe- 

 cializzata come inviluppo , la quale stia nella schiera , conta almeno i-\-h — n volte 

 tra le i quadriche suddette. 



Per un punto x qualunque passano, come dicemmo, n — 1 quadriche della schiera. 

 Se dal punto stesso conduciamo i piani tangenti a tutte le quadriche di questa, notammo 

 che essi formeranno una schiera di 2\_3: ora tra queste ve ne saranno in generale 

 n — 1 specializzate , cioè aventi un piano doppio e questi n — 1 piani doppi saranno 

 i piani tangenti in x alle n — l quadriche della schiera passanti per x. Ora essi 



