76 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



formano una (n — 1) upla polare rispetto a quella schiera di 2i^„_3 e quindi anche 

 rispetto alla schiera data di quadi'iche, cioè: I piani tangenti in un punto quaìimque 

 dello spazio alle quadriche della schiera passanti per esso sono coniugati tra loro 

 rispetto ad ogni quadrica della schiera. 



84. I poli di un piano rispetto alla schiera di quadriche formano un *S", pro- 

 iettiyo alla schiera stessa; lo diremo VS\ polare del piano rispetto alla schiera. 

 Esso taglia il piano dato nel suo punto di contatto con quella quadrica della schiera 

 che lo tocca. Ma se questo piano fa parte della sviluppabile comune alla schiera di 

 quadriche, allora quel S\ vi giace sopra e costituisce la serie dei punti di contatto 

 di quel piano colle diverse quadriche. Ora tra le quadi-iche di una sclùera ve ne sono 

 in generale n semplicemente specializzate come inviluppo, e ridotte quindi come luogo 

 ad un piano doppio su cui sta il nucleo 'S'^„_3 della quadrica stessa; e si hanno 

 così n piani formanti una n upla polare rispetto a tutte le quadriche della schiera. 

 L';S", polare di un piano qualunque dello spazio rispetto alla schiera taglia quei 

 piani fissi nei poli di quello rispetto alle corrispondenti quadriche specializzate. Dunque, 

 in virtù della corrispondenza proiettiva tra quegli S\ e le quadriche della schiera, 

 vediamo che il gruppo degli n punti d'intersezione di un S\ polare colla n upla 

 polare di piani si mantiene proiettivo a se stesso col mutare del /S , . In particolare 

 tra questi S\ corrispondenti proiettivamente alle quadriche della schiera e conte- 

 nenti tali gruppi di n punti vi sono gli S\ di contatto dei piani della sviluppabile. 



85. Questi piani essendo in numero di oo"~"' , quegli S\ di contatto avranno 

 per luogo una oo"~'^ di punti formanti una superficie-luogo che è assai importante 

 di considerare. È facile vedere che il nucleo di ogni quadrica specializzata della 

 schiera è contenuto in quella superficie come spa.no doppio. Ciò è analogo a quanto 

 accade nel fascio di quadriche. Se in questo si considera un piano tangente (pro- 

 priamente detto) ad una quadrica specializzata un numero qualunque h di volte, esso 

 la taglierà in un *S'^„_3 specializzato h-\-l volte, avente per S' i^ doppio un S' i, pas- 

 sante per VS\_^ doppio di quella: quel S',, taglierà le altre quadriche del fascio 

 in un 5"'/,_, , parte della quartica d'intersezione , in ciascun punto del quale questi 

 avrà un S\_^ tangente il quale giacerà nel piano stesso. In particolare, per h^=l vi 

 saranno in ogni piano tangente alla quadrica semplicemente specializzata del fascio 

 due punti della quartica (posti sul S\ di contatto) nei quali VS'„_^ tangente alla 

 quartica sta nel piano stesso. Se il punto doppio della quartica specializzata stesse 

 sulla quartica (come punto doppio), allora di quei due punti uno sarebbe sempre 

 fisso in esso. Ciò posto, passando allo spazio 2 di piani , noi abbiamo : 



Ogni quadrica-in viluppo semplicemente specializzata di una schiera ha per nucleo 

 un /S'^„_3 , i cui punti sono doppi per la superficie considerata, in quanto che per 

 un 'S''„_3 tangente di questo nucleo in un suo punto qualunque passano due diversi 

 piani della sviluppabile i cui 5', di contatto si tagliano nel punto stesso, sicché v'è 

 ragione di considerare questo punto come doppio in quella superficie. Piii general- 

 mente siavi (per eccezione) nella schiera una quadrica-inviluppo h volte S23ecializzata, 

 avente quindi per nucleo un S''„_^_J^ giacente in un 5 '„_,_/,. Allora per ogni 5^_i_a 



